|
Введение
- Функции и их графики
- Основные обозначения и определения Всюду в тексте учебника мы
будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются
и в школьных учебниках. В частности,
означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
означает множество натуральных чисел ;
означает множество всех целых чисел ;
означает пустое множество; по определению, в нём нет
ни одного элемента;
- Пример Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество
номеров
и множество --
множество фамилий, записанных русским алфавитом.
- Пример Пусть
и отображение
для
задано формулой .
Тогда --
сюръекция, так как любое число
из отрезка
равно значению
при некотором .
- Определение Отображение
,
которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется
взаимно-однозначным соответствием
между
и ,
или биекцией. Это означает, что
каждому элементу
сопоставляется ровно один элемент ,
причём для каждого элемента
имеется такой элемент ,
который сопоставлен этому .
- Пример В условиях примера 1.4 отображение
--
биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных
номерков
находят соответствующее номерку пальто .
Соответствие ,
( ,
)--
это обратная функция к функции ,
,
то есть .
- Пример Пусть
--
множество всевозможных отрезков ,
расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки
и )
не совпадают. Пусть соответствие
сопоставляет каждому такому отрезку
его длину .
Так как длина отрезка-- число, то --
числовая функция, .
Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных
чисел:
- Пример Пусть
--
круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1-- границу круга)
на числовой плоскости
с координатами
и ,
с центром в точке .
Функцию
в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки
до центра. Таким образом, ,
где .
|