Высшая математика - курс лекций

офисная мебель: кресла для персонала и руководителей Информатика и технологии Архитектура ЭВМ продажа котят в Санкт-Петербурге Учебник информатики Web безопасность Компьютерные сети Языки программирования Ассемблер Турбо паскаль Java самоучитель Лекции Операционная система Linux Web дизайн

 

Введение

  1. Функции и их графики
    • Основные обозначения и определения Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
      $ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
      $ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
      $ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;
      $ \varnothing $ означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;
      • Пример Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров $ {A=\{1;2;\dots;20\}}$ и множество $ B$-- множество фамилий, записанных русским алфавитом.
      • Пример Пусть $ A=\mathbb{R}, B=[-1;1]$ и отображение $ f$ для $ x\in A$ задано формулой $ f(x)=\sin x$. Тогда $ f$-- сюръекция, так как любое число $ y$ из отрезка $ [-1;1]$ равно значению $ \sin x$ при некотором $ x$.
      • Определение Отображение $ f:A\to B$, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между $ A$ и $ B$, или биекцией. Это означает, что каждому элементу $ x\in A$ сопоставляется ровно один элемент $ y\in B$, причём для каждого элемента $ y\in B$ имеется такой элемент $ x\in A$, который сопоставлен этому $ y$.
      • Пример В условиях примера 1.4 отображение $ f:P\to N'$-- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $ n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $ p\in P$. Соответствие $ g:N'\to P$, $ n\mapsto p$ ($ n\in N'$, $ p\in P$)-- это обратная функция к функции $ f:P\to N'$, $ p\mapsto n$, то есть $ g=f^{-1}$.
      • Пример Пусть $ A$-- множество всевозможных отрезков $ CD$, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки $ C$ и $ D$) не совпадают. Пусть соответствие $ f$ сопоставляет каждому такому отрезку $ CD$ его длину $ f(CD)=\vert CD\vert$. Так как длина отрезка-- число, то $ f$-- числовая функция, $ f:A\to\mathbb{R}$. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: $ \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}$
      • Пример Пусть $ A$-- круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1-- границу круга) на числовой плоскости $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ x_1$ и $ x_2$, с центром в точке $ O(0;0)$. Функцию $ f$ в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки $ (x_1;x_2)$ до центра. Таким образом, $ f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, где $ x=(x_1;x_2)\in A\sbs R^2$.
 
Светильники и люстры: магазин света . Светильники - большой выбор.;Ищете KERAMA MARAZZI? Заходите - kerama marazzi каталог . Итальянская плитка Marazzi Italy.