Лекции по сопромату, теория, практика, задачи

Сопромат
Геометрические характеристики сечений
Моменты инерции сечения
Кручение
Определение напряжений в стержнях
круглого сечения
Деформации и перемещения при кручении валов
Кручение тонкостенных стержней
замкнутого профиля
Статически неопределимые задачи
Рациональные формы сечений при кручении
Определение опорных реакций
Правило знаков для изгибающих моментов
и поперечных сил
Дифференциальное уравнение изогнутой оси
балки и его интегрирование
Расчет статически неопределимых балок
Машиностроительное черчение
ВИДЫ ИЗДЕЛИЙ
Нанесение размеров
Технологические требования
Способы нанесения размеров
Шероховатость поверхности
и её обозначение на чертежах
Правила нанесения надписей,
технических требований и таблиц
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ЧЕРТЕЖЕЙ
ТИПОВЫХ ДЕТАЛЕЙ
Чертежи деталей, получаемых из сортового
материала механической обработкой
Чертёж детали типа "Вал"
ЭСКИЗ ДЕТАЛИ
Эскизы пружин
Эскизы деталей, содержащих шлицы
Особенности составления эскизов деталей
Особенности конструирования деталей,
обработанных резанием
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Определить линию пересечения цилиндра
и прямого кругового конуса

Рассмотрим задачу определения точки
пересечения прямой с поверхностью конуса

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ
АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
 

Рациональные формы сечений при кручении.

Из двух сечений с одним и тем же полярным моментом сопротивления (или в случае некруглого сечения одним и тем же Wк), а следовательно, с одним и тем же допускаемым крутящим моментом, рациональным будет сечение с наименьшей площадью, т.е. обеспечивающее наименьший расход материала. Так как отношение Wp/A (или Wк/A) является величиной размерной, то для сравнения различных сечений удобно применять безразмерную величину

img/t2_52.gif

(при некруглом сечении img/t2_53.gif), которую можно называть удельным моментом сопротивления при кручении. Чем больше img/t2_54.gif, тем рациональнее сечение.

Таблица 2.2

Тип сечения

img/t2_55.gif

Швеллер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Двутавр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Прямоугольное сечение при a/b = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
То же, a/b = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Квадрат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Круглое сплошное сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Круговое кольцо при c = d/D = 0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
>> >> >> >> >> >> c = 0,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,04 - 0,05
0,05 - 0,07
0,1
0,18
0,21
0,28
0,37
1,16

Как видим, наименее выгодными при кручении являбтся швеллеры, двутавры, узкие прямоугольные сечения и наиболее выгодными - круглые кольцевые, особенно при малой толщине стенок.

Сравним площадь стержней трубчатого сечения Ат с площадью стержней сплошного сечения Ас при различных значениях с = d/D и при условии равной прочности. Из равенства полярных моментов сопротивления сплошного и кольцевого сечений имеем

img/t2_56.gif

Для равнопрочности должно соблюдаться условие

img/t2_57.gif

Отношение площадей сечения равно

img/t2_58.gif

Подставляя сюда значение D, найденное из условия равнопрочности, получаем

img/t2_59.gif

В таблице 2.3 приведены значения отношения Ат/Ас. Из этой таблицы видно, что применение трубчатых тонкостенных стержней дает большую экономию металла.

Таблица 2.3

c

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Ат/Ас

1

0,99

0,96

0,92

0,85

0,79

0,70

0,61

0,51

0,39

При подборе сечений по жесткости в качестве критерия экономичности профиля может служить безразмерная величина

img/t2_60.gif

(или img/t2_61.gifдля некруглых сечений), которая может быть названа удельным полярным полярным моментом инерции или удельной геометрической характеристикой крутильной жесткости.

В таблице 2.4 приведены значения jк для некоторых наиболее распространенных сечений.

Таблица 2.4

Тип сечения

Швеллер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Двутавр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Прямоугольное сечение при a/b = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
То же, a/b = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Квадрат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Круглое сплошное сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Круговое кольцо при c = d/D = 0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
>> >> >> >> >> >> c = 0,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,010 - 0,011
0,009 - 0,015
0,031
0,115
0,14
0,16
0,264
1,52

Как видим, при расчете на жесткость преимущества кольцевых тонкостенных сечений по сравнению с другими типами сечений еще более возрастают. Сравнение площадей стержней круглого кольцевого и сплошного сечений при одинаковой жесткости представлено в таблице 2.5. В этой таблице Ат - площадь сечения стержня кольцевого трубчатого сечения, Ас - площадь сечения стержня сплошного круглого сечения.

Таблица 2.5

c

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Ат/Ас

1

0,99

0,96

0,92

0,85

0,78

0,69

0,58

0,46

0,32

Сравнивая эту таблицу с таблицей 2.3., видим, что при расчете на жесткость применение трубчатых тонкостенных стержней позволяет получить еще большую экономию материала.

Изгиб. Определение напряжений.

Общие понятия о деформации изгиба.

Весьма часто стержни подвергаются действию поперечной нагрузки или внешних пар (рис. 3.1).

При этом в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты, т.е. внутренние моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости поперечного сечения стержня.

При действии такой нагрузки ось стержня искривляется.

Указанный вид нагружения называют изгибом. Стержни, работающие в основном на изгиб, обычно называют балками. Изгиб называют чистым, если изгибающий момент является единственным внутренним усилием, возникающим в поперечном сечении стержня.

Чаще, однако, в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающими моментами возникают тоже и поперечные силы. Такой изгиб называют поперечным.

 Изгиб. Определение напряжений

Если плоскость действия изгибающего момента (силовая плоскость) проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения стержня, изгиб называют простым или плоским (применяется также название: прямой изгиб).

Если плоскость действия изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей сечения, изгиб называют косым.

Далее будет показано, что при плоском изгибе ось балки и после деформации остается в плоскости внешних сил - силовой плоскости. При косом изгибе плоскость деформации не совпадает с силовой плоскостью.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого простого изгиба: в дальнейшем рассмотрим более общий случай изгиба - поперечный изгиб. Косой изгиб относится к сложному сопротивлению стержней и будет рассмотрен позднее.

3.2. Типы опор балок.

Опоры балок, рассматриваемых как плоские системы, бывают трех основных типов.

3_2.gif

1. Подвижная шарнирная опора (рис. 3.2, а). Такая опора не препятствует вращению конца балки и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и проходит через центр катка.

Схематичное изображение подвижной шарнирной опоры дано на рис. 3.2, б.

Подвижные опоры дают возможность балке беспрепятственно изменять свою длину при изменении температуры и тем самым устраняют возможность появления температурных напряжений.

2. Неподвижная шарнирная опора (рис. 3.2, в). Такая опора допускает вращение конца балки, но устраняет поступательное перемещение ее в любом направлении. Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие - горизонтальную и вертикальную.

3. Жесткая заделка, или защемление (рис. 3.2, г). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре может в общем случае возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (вертикальную и горизонтальную) и момент защемления (реактивный момент).

Балка с одним заделанным концом называется консольной балкой или просто консолью.

Если опорные реакции могут быть найдены из одних уравнений статики, то балки называют статически определимыми. Если же число неизвестных опорных реакций больше, чем число уравнений статики, возможных для данной задачи, то балки называют статически неопределимыми. Для определения реакций в таких балках приходится составлять дополнительные уравнения - уравнения перемещений.