Лекции по сопромату, теория, практика, задачи

Статически неопределимые задачи.

При кручении, так же как и при растяжении, встречаются задачи, которые не могут быть решены с помощью одних только уравнений равновесия. В таких задачах количество неизвестных превышает число уранений равновесия. Порядок решения таких задач тот же самый, что и при решении статически неопределимых задач при растяжении (сжатии).

Рассмотрим для примера стержень с двумя заделанными концами (рис. 2.16, а). Такой стержень статически неопределим, так как для нахождения двух реактивных моментов, возникающих в заделках, статика дает лишь одно уравнение равновесия.

Отбросим одну заделку, заменив ее действие неизвестным моментом Х (рис. 2.15, б). Дополнительное уравнение (называемое, как известно, уранением деформации или уравнением перемещений) получим из условия, что угол поворота сечения у отброшенной заделки, равный углу закручивания стержня под действием моментов Т и Х, равен нулю ( = 0).

В получившейся статически определимой системе, называемой основной системой, поворот сечения В происходит под действием внешнего момента и момента Х. Угол поворот сечения В под действием момента Х равен



где

Угол поворота сечения В под действием момента Т равен

Подставляя эти значения и уравнение перемещений, получаем

Отсюда определяем Х.

После этого можно определить крутящий момент в любом сечении и построить эпюру Тк и эпюру углов закручивания. Для построения эпюры достаточно вычислить угол поворота сечения С. Он равен

Углы поворота сечений А и В равны нулю, а так как угол поворота сечения линейно зависит от расстояния, то полученные точки эпюры можно соединить прямыми линиями. Эпюры Тк и представлены на рис. 2.16, в, г.

Пример 2.5. Тонкостенная трубка из материала с модулем Gв вставлена в другую с модулем Gн. Один конец получившейся конструкции заделан, а к другому приложен внешний момент Т, действующий на обе трубки (рис. 2.17). Определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечения трубок.

Решение. Неизвестных крутящих моментов два: во внутренней трубке Тк.в и в наружной трубке Тк.н.

Уравнение равновесия одно:

Тк.в + Тк.н = Т.     (I)





Задача один раз статически неопределима. Составляем уранение деформаций, приравнивая между собой углы поворота сечений на правом конце трубок (равные полным углам закручивания трубок):

    (II)

Полярный момент инерции сечения внутренней трубки - Iр.в, наружной - Iр.н. Они определяются, как для кольцевых сечений, по формулам. При небольшой толщине стенок для вычисления углов закручивания можно пользоваться формулой (2.39 ), которая при постоянной толщине получает вид

,

где d = (dн + dв)/2 - средний диаметр трубки; s = Пd - длина средней окружности сечения трубки.

Из двух уравнений (I) и (II) определяют крутящие моменты в поперечных сечениях трубок, а затем по формуле (2.37 ) - и напряжения. При значительной толщине стенок для определения напряжений следует пользоваться следующими формулами: