Статически неопределимые задачи.
При кручении, так же как
и при растяжении, встречаются задачи, которые не могут быть решены с помощью одних
только уравнений равновесия. В таких задачах количество неизвестных превышает
число уранений равновесия. Порядок решения таких задач тот же самый, что и при
решении статически неопределимых задач при растяжении (сжатии).

Рассмотрим
для примера стержень с двумя заделанными концами (рис. 2.16, а). Такой стержень
статически неопределим, так как для нахождения двух реактивных моментов, возникающих
в заделках, статика дает лишь одно уравнение равновесия.
Отбросим одну
заделку, заменив ее действие неизвестным моментом Х (рис. 2.15, б). Дополнительное
уравнение (называемое, как известно, уранением деформации или уравнением перемещений)
получим из условия, что угол поворота сечения у отброшенной заделки, равный углу
закручивания стержня под действием моментов Т и Х, равен нулю (
= 0).
В получившейся статически определимой системе,
называемой основной системой, поворот сечения В происходит под действием внешнего
момента и момента Х. Угол поворот сечения В под действием момента Х равен

где 
Угол поворота сечения В под
действием момента Т равен

Подставляя эти значения и уравнение перемещений, получаем

Отсюда определяем Х.
После этого можно определить
крутящий момент в любом сечении и построить эпюру Тк и эпюру углов закручивания.
Для построения эпюры
достаточно вычислить угол поворота сечения С. Он равен

Углы поворота сечений А и В равны нулю, а так как
угол поворота сечения линейно зависит от расстояния, то полученные точки эпюры
можно соединить прямыми линиями. Эпюры Тк и
представлены на рис. 2.16, в, г.
Пример 2.5. Тонкостенная
трубка из материала с модулем Gв вставлена в другую с модулем Gн. Один конец получившейся
конструкции заделан, а к другому приложен внешний момент Т, действующий на обе
трубки (рис. 2.17). Определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечения
трубок.
Решение. Неизвестных крутящих моментов два: во внутренней трубке
Тк.в и в наружной трубке Тк.н.
Уравнение равновесия одно:
Тк.в
+ Тк.н = Т. (I)

Задача один раз статически
неопределима. Составляем уранение деформаций, приравнивая между собой углы поворота
сечений на правом конце трубок (равные полным углам закручивания трубок): 
(II)
Полярный момент инерции сечения
внутренней трубки - Iр.в, наружной - Iр.н. Они определяются, как для кольцевых
сечений, по формулам. При небольшой толщине стенок для вычисления углов закручивания
можно пользоваться формулой (2.39 ), которая при постоянной толщине
получает вид
,
где d = (dн + dв)/2 - средний диаметр трубки; s
= Пd - длина средней окружности сечения трубки.
Из двух уравнений (I)
и (II) определяют крутящие моменты в поперечных сечениях трубок, а затем по формуле
(2.37 ) - и напряжения. При значительной толщине стенок для определения напряжений
следует пользоваться следующими формулами: