Лекции по сопромату, теория, практика, задачи

Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля.

Значительно более жестким и поэтому более целесообразным при кручении являются тонкостенные стержни замкнутого профиля.

Рассмотрим цилиндрический стержень, поперечное сечение которого представлено на рис. 2.14. Толщину стенки img/t2_17.gifбудем считать плавно изменяющейся вдоль линии контура, так что концентрацию напряжений можно не учитывать.

Геометрическое место точек, равноотстоящих от внешнего и внутреннего контуров поперечного сечения, называется средней линией сечения.

Ввиду незначительной толщины стенки можно принять, что возникающие при кручении касательные напряжения будут равномерно распределены по толщине стенки и направлены по касательной к средней линии сечения.

Можно показать также, что произведение касательного напряжения в какой-либо точке стенки на ее толщину есть величина, постоянная для всех точек осевой линии контура сечения, т.е. img/t2_18.gif

Для этого достаточно рассмотреть условие равновесия какого-либо элемента стержня, например элемента 1234 (рис. 2.14).

В продольном сечении 1-4 действует парное касательное напряжение img/t2_19.gif, в сечении 2-3 - парное касательное напряжение img/t2_20.gif

Спроектировав силы, действующие на элемент, на направление оси стержня, получим img/t2_21.gif.

Так как точки 3 и 4 взяты произвольно, то img/t2_22.gif

Теперь можно связать величину касательного напряжения с возникающим в сечении крутящим моментом.

img/2_14.gif

Сила, действующая на элементарную площадь img/t2_23.gif(рис. 2.14), равна, очевидно, img/t2_24.gif, а крутящий момент этой элементарной силы относительно произвольной точки О, лежащей в плоскости сечения, равен img/t2_25.gif, относительно точки О.

Сумма моментов относительно оси, параллельной образующей стержня и проходящей через точку О, равна крутящему моменту

img/t2_26.gif

где интегрирование распространяется на всю длину контура s; но произведение pds равно удвоенной площади треугольника Oab; pds = 2dA. Следовательно, img/t2_27.gif

Произведение img/t2_28.gif, как величину постоянную, можно вынести за знак интеграла. Под интегралом остается выражение img/t2_29.gif, что представляет собой площадь сплошного сечения, ограниченного средней линией сечения.
Тогда

img/f_36.gif          (2.36)

откуда

img/f_37.gif          (2.37)

Наибольшее напряжение будет в том месте, где толщина стенки минимальна

img/f_38.gif          (2.38)

Угол закручивания img/t2_14.gifдля стержня длиной l определим из условия, что работа внешнего скручивающего момента равна работе внутренних сил. Работа внешнего статически приложенного момента на угловом перемещении img/t2_14.gifравна

img/t2_31.gif

Вычислим теперь потенциальную энергию деформации, численно равную работе внутренних сил.

Потенциальная энергия для элемента объемом img/t2_32.gifсоставит

img/t2_33.gif

где l - длина стержня.

Полная потенциальная энергия энергия для всего стержня равна

img/t2_34.gif

Интегрирование производится по длине s контура сечения.

img/2_15.gif

Заменяя img/t2_2.gifего значением из формулы (2.37), найдем

img/t2_35.gif

Вынесем постоянные величины за знак интеграла

img/t2_36.gif

Учитывая, что потенциальная энергия U численно равна работе W внешнего момента, получим Тк = Т

img/f_39.gif          (2.39)

Пример 2.3. Определить наибоьльшее напряжение и угол закручивания трубчатого стержня (рис. 2.15), если Тк = Т = 1500 Н * м, G = 80000 МПа.

Решение. По формуле (2.38) находим

img/t2_37.gif

По формуле (2.39) определим угол закручивания на длине 1 м

img/t2_38.gif

Пример 2.4. Определить наибольшее напряжение и угол закручивания того же стержня, если профиль будет открытым (т.е. если контур в одном месте будет разрезан).

Решение. Напряжение определяем по формуле (2.34):

img/t2_39.gif

Заметим, что этот результат имеет смысл лишь для стержня, изготовленного из легированной стали, имеющей предел пропорциональности при чистом сдвиге img/t2_40.gifне ниже найденной величины img/t2_41.gif, так как все формулы настоящей главы справедливы лишь в пределах действия закона Гука.

Угол закручивания определяем по формуле (2.35)

img/t2_42.gif

Сравнение результатов двух рассмотренных примеров подтверждает приемущества стержней замкнутого профиля по сравнению со стержнями открытого профиля при работе на кручение.