Лекции по сопромату, теория, практика, задачи

Сопромат
Геометрические характеристики сечений
Моменты инерции сечения
Кручение
Определение напряжений в стержнях
круглого сечения
Деформации и перемещения при кручении валов
Кручение тонкостенных стержней
замкнутого профиля
Статически неопределимые задачи
Рациональные формы сечений при кручении
Определение опорных реакций
Правило знаков для изгибающих моментов
и поперечных сил
Дифференциальное уравнение изогнутой оси
балки и его интегрирование
Расчет статически неопределимых балок
Машиностроительное черчение
ВИДЫ ИЗДЕЛИЙ
Нанесение размеров
Технологические требования
Способы нанесения размеров
Шероховатость поверхности
и её обозначение на чертежах
Правила нанесения надписей,
технических требований и таблиц
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ЧЕРТЕЖЕЙ
ТИПОВЫХ ДЕТАЛЕЙ
Чертежи деталей, получаемых из сортового
материала механической обработкой
Чертёж детали типа "Вал"
ЭСКИЗ ДЕТАЛИ
Эскизы пружин
Эскизы деталей, содержащих шлицы
Особенности составления эскизов деталей
Особенности конструирования деталей,
обработанных резанием
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Определить линию пересечения цилиндра
и прямого кругового конуса

Рассмотрим задачу определения точки
пересечения прямой с поверхностью конуса

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ
АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
 

Определение напряжений в стержнях круглого сечения.

Крутящие моменты, о которых шла речь выше, представляют лишь равнодействующие внутренние усилия. Фактически в поперечном сечении скручиваемого стержня действуют непрерывно распределенные внутренние касательные напряжения, к определению которых теперь и перейдем.

Ознакомимся прежде всего с результатами опытов. Если на поверхность стержня круглого сечения нанести прямоугольную сетку, то после деформации окажется (рис. 2.6):

1) прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса, а по закону парности касательных напряжений - и в продольных его сечениях;

2) расстояния между окружностями, например между I и II, не изменятся. Не изменится длина стержня и его диаметр. Естественно допустить, что каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол, как жесткое целое (гипотеза плоских и жестких сечений). На основании этой гипотезы можно считать, что радиусы всех поперечных сечений будут поворачиваться (на равные углы), оставаясь прямолинейными.

На основании этого можно принять, что при кручении в поперечных сечениях стержня действуют только касательные напряжения, т.е. напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг.

 Определение напряжений в стержнях круглого сечения

Формулы, полученные на основе этого допущения, подтверждаются опытами. Точка D переместится по дуге DD', точка C - по меньшей дуге CC' (рис. 2.7).

 Эпюра касательных напряжений по поперечному сечению стержня

Для установления закона распределения касательных напряжений по поперечному сечению скручиваемого стержня рассмотрим более детально деформации стержня (рис. 2.6 и 2.8). На рис. 2.8 в более крупном масштабе изображена часть стержня между сечениями I и II и показана одна сторона KN элемента KLMN (рис. 2.6).

Угол сдвига для элемента KLMN, лежащего на поверхности стержня, равен отношению отрезка NN' к длине элемента dz (см. рис. 2.8)

img/f_1.gif          (2.1)

Выделяя мысленно из рассматриваемой части бруса цилиндр произвольного радиуса p и повторяя те же рассуждения, получим угол сдвига для элемента, отстоящего на расстоянии p от оси стержня

img/f_2.gif          (2.2)

на основании закона Гука при сдвиге имеем

img/f_3.gif          (2.3)

Как видим, при кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.

Эпюра касательных напряжений по поперечному сечению стержня представлена на рис. 2.7 справа.

В центре тяжести круглого сечения касательные напряжения равны нулю. Наибольшие касательные напряжения будут в точах сечения, расположенных у поверхности стержня.

img/2_8.gif

Зная закон распределения касательных напряжений, легко определить их величину из учловия, что крутящий момент в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении:

img/f_4.gif          (2.4)

где ТрdA - элементарный крутящий момент внутренних сил, действующий по площадке dA.

Подставив в (2.4) значение напряжений из формулы (2.3) получим

img/f_5.gif          (2.5)

Имея ввиду, что

img/f_6.gif          (2.6)

где Ip - полярный момент инерции сечения, получим

img/f_7.gif          (2.7)

Подставляя значение img/t2_1.gifв формулу (2.3), имеем

img/f_8.gif          (2.8)

В частном случае, когда на стержень действует один внешний скручивающий момент Т (рис. 2.9), из условия равновесия отсеченной части стержня получим Тк = Т.

Таким образом, окончательная формула для определения касательных напряжений при кручении имеет вид

img/f_9.gif          (2.9)

Как видно из этой формулы, в точках, одинаково удаленных от центра сечения, напряжения img/t2_2.gifодинаковы.

Наибольшие напряжения в точках у контура сечения равны

img/f_10.gif          (2.10)

где

img/f_11.gif          (2.11)

Геометрическая характеристика Wp называется полярным моментом сопротивления или моментом сопротивления при кручении.

img/2_9.gif

Для круглого сплошного сечения

img/f_12.gif          (2.12)

Для колцевого сечения

img/f_13.gif          (2.13)

где c = d/D.

Условие статической прочности вала при кручении имеет вид

img/f_14.gif          (2.14)

Здесь img/t2_3.gif- допускаемое касательное напряжение.

При действии статической нагрузки принимают (без учета концентрации напряжений и других факторов, снижающих прочность)

img/t2_4.gif

Кроме проверки прочности, по этой формуле можно также подбирать диаметр вала или определять допускаемыйкрутящий момент при известных остальных величинах.

Имея в виду, что для круглого сплошного сечения img/t2_5.gif, получаем

img/f_15.gif          (2.15)

По этой формуле определяют диаметр вала из условия прочности.

Допускаемый из условия прочности крутящий момент определяют по формуле

img/f_16.gif          (2.16)

Касательные напряжения действуют не только в поперечных сечениях стержня, но и (как это следует из закона парности касательных напряжений) в продольных сечениях (рис. 2.10).

В наклонных же сечениях стержня действуют и нормальные и касательные напряжения. Они могут быть вычислены.

 Касательные напряжения

Опыты показывают, что хрупкие материалы, например чугун, при кручении разрушаются по плоскости (говоря точнее, по винтовой поверхности), наклоненной к оси вала под углом 45 градусов (рис. 2.11, б), т.е. по тем плоскостям, где действуют наибольшие растягивающие напряжения.

Следовательно, при кручении во всех точках стержня, кроме точек его оси (в которых вообще не возникает напряжений), имеет место двухосное напряженное состояние - чистый сдвиг. При кручении материал у поверхности стержня напряжен сильнее, чем материал, расположенный, ближе к оси стержня. Таким образом, напряженное состояние является неоднородным. Если же скручивать тонкостенную трубу, то можно считать, что практически во всех точках ее стенки возникают одинаковые напряжения, т.е. в этом случае напряженное состояние будет однородным. Опыты с кручением таких труб используют обычно для изучения чистого сдвига и, в частности, для установления предела текучести при сдвиге img/t2_6.gif.