Лекции по сопромату, теория, практика, задачи

Сопромат
Геометрические характеристики сечений
Моменты инерции сечения
Кручение
Определение напряжений в стержнях
круглого сечения
Деформации и перемещения при кручении валов
Кручение тонкостенных стержней
замкнутого профиля
Статически неопределимые задачи
Рациональные формы сечений при кручении
Определение опорных реакций
Правило знаков для изгибающих моментов
и поперечных сил
Дифференциальное уравнение изогнутой оси
балки и его интегрирование
Расчет статически неопределимых балок
Машиностроительное черчение
ВИДЫ ИЗДЕЛИЙ
Нанесение размеров
Технологические требования
Способы нанесения размеров
Шероховатость поверхности
и её обозначение на чертежах
Правила нанесения надписей,
технических требований и таблиц
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ЧЕРТЕЖЕЙ
ТИПОВЫХ ДЕТАЛЕЙ
Чертежи деталей, получаемых из сортового
материала механической обработкой
Чертёж детали типа "Вал"
ЭСКИЗ ДЕТАЛИ
Эскизы пружин
Эскизы деталей, содержащих шлицы
Особенности составления эскизов деталей
Особенности конструирования деталей,
обработанных резанием
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Определить линию пересечения цилиндра
и прямого кругового конуса

Рассмотрим задачу определения точки
пересечения прямой с поверхностью конуса

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ
АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
 

Геометрические характеристики сечений.

Моменты инерции сечения.

Осевым, или экваториальным, моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика, численно равная интегралу:
относительно оси х

f_6.gif          (1.6)

относительно оси у

f_6a.gif

где у - расстояние от элементарной площадки dA до оси х (см. рис. 1.1.); х - расстояние от элементарной площадки dA до до оси у; D - область интегрирования.

Полярным моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида

f_7.gif          (1.7)

где p - расстояние от площадки dA до точки (полюса) (см. рис. 1.1.) относительно которой вычисляется полярный момент инерции.

Осевой и полярный моменты инерции - величины всегда положительные.

Действительно, независимо от знака координаты произвольной площадки соответствующее слагаемое положительно, так как в него входит квадрат этой координаты.

Центробежным моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида

f_8.gif          (1.8)

где х,у - расстояния от площадки dA до осей x и y.

Моменты инерции измеряются в единицах длины в четвертой степени (по СИ - м4, хотя для прокатных профилей по ГОСТу - см4).

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю.

1_3.gif

Если взаимно перпендикулярные оси х и у или одна из них являются осями симметрии фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю. Действительно, для симметричной фигуры всегда можно выделить два элемента ее площади (рис. 1.3.), которые имеют одинаковые ординаты у и равные, но противоположные по знаку абсциссы х. Составляя сумму произведений xydA для таких элементов, т.е. вычисляя интеграл (1.8.), получают в результате нуль.

Легко доказать, что полярный момент инерции относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку.

Действительно, из рис. 1.1 видно, что

t1_5.gif
Подставив это значение p2 в выражение (1.7.) получим

t1_6.gif

Следовательно, Ip = Ix + Iy.

Моменты инерции простых сечений.

 Моменты инерции простых сечений

1. Прямоугольник (рис. 1.5,а). Вычислим момент инерции сечения относительно оси Х0, проходящей через центр тяжести параллельно основанию.

За dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA = bdy. Тогда
t1_7.gif
Итак,
f_11.gif          (1.11)

Аналогично, получим
f_12.gif          (1.12)

2. Круг (рис. 1.5,б). Сначала определим полярный момент инерции относительно центра круга
t1_8.gif

За dA принимаем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dp
t1_9.gif

тогда
t1_10.gif

Следовательно,
f_13.gif          (1.13)

Теперь легко найдем Ixo. Действительно, для круга согласно формуле (1.9.), имеем Iр = 2Iхо = 2Iуо, откуда
f_14.gif          (1.14)

2. Кольцо (рис. 1.5,в). Осевой момент инерции в этом случае равен разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов
f_15.gif          (1.15)
где c = d/D.

Аналогично полярный момент инерции
f_16.gif          (1.16)

2. Треугольник (рис. 1.5,г). Определим момент инерции относительно оси x1, параллельной основанию и проходящей через вершину треугольника
t1_11.gif

За dA примем площадь бесконечно тонкой трапеции KBDE, площадь которой можно считать равной площади прямоугольника:

dA = bydy,

где by - длина прямоугольника.

Легко получить из подобия треугольников

by = yb/h;

тогда
f_17.gif          (1.17)

Определим момент инерции относительно центральной оси; для этого используем формулу (1.10)
f_18.gif          (1.18)

Определим момент инерции относительно оси, проходящей через основание:
f_19.gif          (1.19)

Моменты инерции сложных фигур.

Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции ее составных частей
f_20.gif          (1.20)

Это непостредственно следует из свойств определенного инетеграла
t1_12.gif
где А = А1 + А2 + ...

Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур и затем просуммировать эти моменты инерции.

Указанная теорема справедлива также и для центробежного момента инерции.

Моменты инерции прокатных сечений (двутавров, швеллеров, уголков и т.д.) приводятся в таблицах сортамента.

Главные оси инерции и главные моменты инерции.

При изменении угла t1_13.gifвеличины Ix1, Iy1 и Ix1y1 изменяются. Найдем значение угла, при котором Ix1 и Iy1 имеют экстремальные значения; для этого возьмем от Ix1 или Iy1 первую производную по t1_13.gifи преравняем ее нулю:

t1_14.gif

или

t1_15.gif

откуда

f_28.gif          (1.28)

Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой - минемален.

Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Значения главных моментов инерции найдем из формул (1.23) и (1.24), подставив в них t1_16.gifиз формулы (1.28), при этом используем известные формулы тригонометрии для функций двойных углов.

После преобразований получим следующую формулу для определения главных моментов инерции:

f_29.gif          (1.29)

Исследуя вторую производную t1_17.gifможно установить, что для данного случая (Ix < Iy) максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол t1_16.gifпо отношению к оси х, а минимальный момент инерции - относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфигурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Сказанное следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю.

В случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, то у этого сечения любая центральная ось является главной, и все главные центральные моменты инерции одинаковы (круг, квадрат, шестиугольник, равносторонний шестиугольник).