Начертательная геометрия

Сопромат
Геометрические характеристики сечений
Моменты инерции сечения
Кручение
Определение напряжений в стержнях
круглого сечения
Деформации и перемещения при кручении валов
Кручение тонкостенных стержней
замкнутого профиля
Статически неопределимые задачи
Рациональные формы сечений при кручении
Определение опорных реакций
Правило знаков для изгибающих моментов
и поперечных сил
Дифференциальное уравнение изогнутой оси
балки и его интегрирование
Расчет статически неопределимых балок
Машиностроительное черчение
ВИДЫ ИЗДЕЛИЙ
Нанесение размеров
Технологические требования
Способы нанесения размеров
Шероховатость поверхности
и её обозначение на чертежах
Правила нанесения надписей,
технических требований и таблиц
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ЧЕРТЕЖЕЙ
ТИПОВЫХ ДЕТАЛЕЙ
Чертежи деталей, получаемых из сортового
материала механической обработкой
Чертёж детали типа "Вал"
ЭСКИЗ ДЕТАЛИ
Эскизы пружин
Эскизы деталей, содержащих шлицы
Особенности составления эскизов деталей
Особенности конструирования деталей,
обработанных резанием
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Определить линию пересечения цилиндра
и прямого кругового конуса

Рассмотрим задачу определения точки
пересечения прямой с поверхностью конуса

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ
АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
 

Рассмотрим задачу определения точки пересечения прямой с поверхностью конуса (рис. 1.4). Проведем вспомогательную секущую плоскость a через прямую l и вершину конуса. Плоскость a пересечет

Определение точек пересечения прямой с поверхностью вращения

Рис. 1.4. Определение точек пересечения прямой с поверхностью вращения

поверхность конуса по образующим. Для определения образующих найдем линию пересечения плоскости a с плоскостью основания конуса b. С этой целью в плоскости a проведем две прямые S1 и S2 фронтальные проекции которых S′′1′′ и S′′2′′ пересекут bV в точках 3′′ и 4′′. Горизонтальные проекции 3 и 4 принадлежат соответственно S1 и S2. Продолжив прямую3-4 до пересечения с основанием конуса, определим проекции образующих S5 и S6, а также проекции точек A и B.

На рис. 1.5 показано построение проекций точек пересечения прямой с поверхностью наклонного цилиндра. В этом случае общий ход решения задачи аналогичен предыдущему, отличие состоит в том, что вспомогательная секущая плоскость проведена параллельно образующим цилиндра: плоскость задана прямой и прямой, параллельной образующим цилиндра. Дальнейшие рассуждения и построения проводятся по аналогии с предыдущим примером.

Необходимо отметить, что определение линии пересечения двух кривых поверхностей можно свести к решению задачи по нахождению точки встречи прямой с кривой поверхностью. Для этого на одной поверхности выделяем ряд прямолинейных образующих, а затем определяем точку пересечения каждой образующей с другой поверхностью, как это показано на рис. 1.3 и 1.4. Однако, этот путь более сложен и громоздок, чем способы секущих плоскостей и сфер.

Выше были рассмотрены основные приемы построения проекций линий пересечения поверхностей вращения, однако, на практике встречаются задачи, в которых присутствуют так называемые циклические поверхности. Это поверхности, которые можно представить как совокупность круговых сечений. К таким поверхностям можно отнести эллиптические цилиндры и конусы.

При определении линии пересечения таких поверхностей с поверхностями вращения применяют способ эксцентрических сфер. Общий принцип реализации этого способа тот же, что и для концентрических сфер, отличие состоит в определении центров и радиусов вспомогательных сфер. На рис. 1.6 показано построение проекций линий пересечения эллиптического цилиндра и конуса вращения. Точки 1 и 5 определены по принадлежности их фронтальных проекций очеркам фронтальных проекций поверхностей. Эллиптический цилиндр является циклической поверхностью и является множеством горизонтальных окружностей. Чтобы выделить одну из этих окружностей зададим горизонтальную плоскость a между точками 1 и 5. Эта плоскость пересечет поверхность цилиндра по окружности радиуса r1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение точек пересечения прямой с цилиндром

Рис. 1.5. Определение точек пересечения прямой с цилиндром

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение линии пересечения кривых поверхностей способом эксцентрических секущих сфер

Рис. 1.6. Определение линии пересечения кривых поверхностей способом эксцентрических секущих сфер

Представим себе, что эта окружность лежит на поверхности сферы, центр которой находится на оси вращения конуса. Найдем фронтальную проекцию центра этой сферы, для этого представим себе, что окружности радиуса r1 лежит на поверхности цилиндра вращения в вертикальной осью. Фронтальная проекция этой оси проходит через точку O1′′ и, пересекаясь с фронтальной проекцией оси вращения конуса даст O2′′ . Это ‑ фронтальная проекция центра вспомогательной сферы. Из центра О2 проведем вспомогательную сферу таким образом, чтобы очерк фронтальной проекции этой сферы проходил через точки M′′ и N′′, полученные в результате пересечения вспомогательной плоскости a с очерком цилиндра. Эта сфера пересечет поверхность конуса по окружности, фронтальная проекция которой обозначена А′′В′′.

А′′В′′ пересекаясь с M′′N′′, определит фронтальные проекции точек 2 и 8.

Горизонтальные проекции этих точек определены по их принадлежности окружности радиуса r1.

Точки 4 и 6 определены аналогичным путем. Для определения характерных точек 3 и 7 зададим вспомогательную плоскость g, проходящую через крайние образующие конуса.

Алгоритм построения общих точек способом эксцентрических сфер можно свести к следующему:

пересекаем циклическую поверхность плоскостью таким образом, чтобы в сечении была окружность;

находим центр этой окружности;

мысленно проводим через эту окружность прямой круговой цилиндр и определяем его ось;

в пересечении этой оси и оси второй поверхности находим центр вспомогательной сферы;

проводим вспомогательную сферу так, чтобы она проходила через полученную окружность;

находим окружность, по которой сферы пересекаются со второй поверхностью;

находим точки пересечения двух окружностей.

Разобранные выше примеры дают возможность решать любую задачу на пересечение поверхностей вращения, а также циклических поверхностей. Вполне очевидно, что в каждом конкретном случае применим не всякий способ, поэтому в заключение дадим классификацию задач по способам их решения. Задачи на построение линии пересечения поверхностей вращения с параллельными осями решаем только способом вспомогательных плоскостей. Этот способ можно применять и в том случае, если одна или обе поверхности циклические, причем, если они имеют общую плоскость симметрии. Способ вспомогательных концентрических сфер можно применить только при определении линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями. Способ эксцентрических сфер следует применять , если одна из поверхностей является поверхностью вращения, а вторая – циклическая. Причем, обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.

Пресечение кривой поверхности с многогранником

Решение задачи на пересечение кривой и гранной поверхностей в общем случае сводится к построению линии пересечения кривой поверхности с плоскостью и прямой. Основным методом решения таких задач является метод вспомогательных секущих плоскостей.

На рис. 1.7 показано построение проекций прямого кругового конуса с прямоугольным вырезом, который образован четырьмя фронтально-проецирующими плоскостями P, T, S, Q. Вполне очевидно, что фронтальная проекция выреза совпадает с фронтальными проекциями плоскостей его образующими. Построим горизонтальную проекцию конуса с вырезом. Для этого проведем вспомогательную секущую горизонтальную плоскость a. Плоскость a пересечет поверхность конуса по окружности радиуса R1. В то же время плоскость a пересечет плоскости Р и Т по фронтально-проецирующим прямым. Совершенно ясно, что окружности радиуса R1 и эти прямые пересекутся. Фронтальные проекции точек пересечения ‑ 1′′, 11′′, 5′′, 15′′. Горизонтальные проекции точек ‑ 1, 11, 5, 15 лежат на горизонтальной проекции окружности. Для построения других точек проводим ряд горизонтальных плоскостей. Затем последовательно соединяем горизонтальные проекции точек.

Обратим внимание на то обстоятельство, что данная задача может быть решена также с помощью секущих плоскостей, проходящих через вершину конуса. В этом случае коническая поверхность будет рассекаться по образующим.

Общий алгоритм решения подобных задач такой же как при решении задачи на построение линии пересечения поверхностей вращения.

Определение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

Рис. 1.7. Определение точек пересечения прямой с поверхностью конуса