Машиностроительное черчение

Пример 2. Определить линию пересечения цилиндра и прямого кругового конуса (рис. 1.2).

Если вспомогательную секущую плоскость провести через ось конуса, то она пересечет обе поверхности по прямолинейным образующим. Проведем горизонтально-проецирующую секущую плоскость a, которая пересечет поверхность конуса по образующей OA. Эта образующая пересекает поверхность цилиндра в точках 2 и 4, горизонтальные проекции которых (2 и 4) лежат на горизонтальной проекции цилиндра.

Строим O′′A′′ ‑ фронтальную проекцию образующей, затем по линиям связи определяем 2′′ и 4′′ ‑ фронтальные проекции точек 2 и 4. Точки 2 и 4 принадлежат линии пересечения цилиндра и конуса Проекцию точки 7 находим аналогично с помощью вспомогательной плоскости b.

Фронтальные проекции характерных точек 1′′ и 5′′ определяем так же как и в примере 1.

При решении некоторых задач нахождения линии пересечения поверхностей вращения очень сложно, иногда невозможно выбрать положение секущей плоскости в соответствии с рекомендуемым алгоритмом. В самом деле, если пересечь эти поверхности горизонтальными плоскостями, то один их конусов они пересекут по окружностям, а второй – по гиперболам. Если же проводить фронтальные плоскости через ось одного конуса, то второй также пересечется по лекальным кривым. В подобных случаях пользуются способом вспомогательных сфер.

Пример 3. Определить линию пересечения поверхностей вращения (рис. 1.3).

Применим способ концентрических сфер. При этом центр сфер выбираем в точке пересечения осей вращения данных поверхностей. Радиус сфер выбираем с таким расчетом, чтобы окружности, получаемые при пересечении сферы с заданными поверхностями, пересекались между собой. Сфера минимального радиуса (Rmin) всегда является касательной к одной поверхности

Определить линию пересечения цилиндра и прямого кругового конуса

Рис. 1.2. Определение линии пересечения поверхностей вращения методом вспомогательных секущих плоскостей (пример 2)

Определение линии пересечения поверхностей вращения методом сфер

Рис. 1.3. Определение линии пересечения поверхностей вращения методом сфер (пример 3)

и пересекает другую. Сфера максимального радиуса (Rmax) обычно проходит через точку пересечения очерковых образующих, в данном случае – через точку 7. Вполне очевидно, что если выбрать сферу больше Rmax, то окружности, получаемые в сечении, не будут иметь общих точек.

Сфера радиуса Rmin касается вертикального конуса по окружности радиуса R1 и пересекает второй конус по окружности радиуса r1). Фронтальные проекции этих окружностей представляют собой отрезки прямых. В точке пересечения этих отрезков получаем фронтальные проекции точек 2 и 8, принадлежащих одновременно трем поверхностям –сфере радиуса Rmin и двум конусам. Горизонтальные проекции этих точек строим следующим образом: точки 2 и 8 принадлежат окружности радиуса R1, следовательно, их горизонтальные проекции будут лежать на горизонтальной проекции этой окружности.

Для определения точек 4 и 6 проведем ещё одну сферу, которая пересечет данные поверхности по окружностям радиуса R2 и r2. Дальнейшие построения аналогичны предыдущим.

При решении подобных задач важным моментом является нахождение характерных точек. В данном случае характерными являются точки, лежащие на очерковых образующих фронтальных проекций конусов. Ход построения проекций точек 1 и 5 очевиден, т. к. их фронтальные проекции 1′′ и 5′′ уже есть, а горизонтальные проекции определены по принадлежности этих точек левой очерковой образующей фронтальной проекции вертикального конуса.

Для определения проекций точек 3 и 7 проведем секущую плоскость a. Эта плоскость пересечет вертикальный конус по окружности радиуса R3. Второй конус пересечется плоскостью по очерковым образующим горизонтальной проекции конуса. Горизонтальные проекции 3 и 7 найдены в пересечении горизонтальных проекций этих образующих и окружности радиуса R3.

В данном примере очерковые образующие горизонтальны, однако, встречаются задачи, в которых эти образующие занимают общее положение. В таком случае необходимо решать задачу на определение точки встречи прямой с поверхностью.