Степень с целым показателем

Линейная алгебра Курс лекций по математике

Степень с целым показателем

Было определено понятие степени натурального числа с натуральным показателем. Обобщим это определение на случай произвольного действительного числа.

Пусть a − любое действительное число; n − натуральное число, большее единицы. Назовем n -ной степенью числа a называется произведение n множителей, каждый из которых равен a . Если n  = 1, то по определению считают, что a 1  =  a . Число a называется основанием степени , число n − показателем степени .

Справедливы следующие свойства степени:

  1. a n  ·  a k  =  a n  +  k .
  2. a n  :  a k  =  a n  –  k , если  n  >  k .
  3. ( a n ) k  =  a nk .
  4. a n  ·  b n  = ( ab ) n .

Например,

По определению полагают, что a 0  = 1 для любого a  ≠ 0. Нулевая степень числа нуль не определена.

По определению полагают, что если n − натуральное число, то

Справедливо равенство Например,

Преобразовать в дробь степень

Свойства логарифмов Логарифмом числа b по основанию a ( b > 0, ) называется показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы получить число b :

Тригонометрические выражения В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота. Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Определите радианную меру угла, если его градусная мера равна: 1) 2°; 2) 225°. Докажем, что отношения и не зависят от величины радиуса R . Действительно, выберем на отрезке OA точку такую, что Построим окружность с центром в начале координат радиуса

Функция y = cos x Синусом угла α называется ордината y точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс. sin  α = y Функция y = ctg x

Найдём значения тригонометрических функций некоторых наиболее часто встречающихся углов. Конец радиус-вектора, отвечающего углу 0°, точка A , имеет координаты (1; 0). Поэтому cos 0° = 1, sin 0° = 0, tg 0° = 0, ctg 0° не определён. Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной, равной 1

Пример Найдите значения выражений
Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента Рассмотрим радиус-вектор угол между которым и осью абсцисс равен. Пример Упростите выражение
Найдите sin  x   и  cos  x , если и
Формулы сложения Упростите выражения: Формулы кратного аргумента
Упростите выражение
Формулы понижения степени
  ОДЗ ( областью допустимых значений ) уравнения называется множество тех значений неизвестной, при которых определены его правая и левая части.
Линейные уравнения   Уравнение вида ax  +  b  = 0, где x − переменная, a  и   b − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше первой .

 

Совершенно аналогично вводится понятие степени рациональных выражений. Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень, нужно отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно − знаменатель:
Рациональные выражения