Степень с целым показателем

Линейная алгебра Курс лекций по математике

Одночлены и многочлены

 Алгебраическое выражение − это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и скобок.

Простейшим алгебраическим выражением является одночлен.

Одночленом называется выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения, и при этом не содержит никаких других действий с этими числами и переменными. Например, − одночлены, а выражения − не одночлены.

Одночлен называется представленным в стандартном виде , если он представлен в виде произведения числового множителя на первом месте и степеней различных переменных. Числовой множитель у одночлена стандартного вида называется коэффициентом одночлена , сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена . Ясно, что произведение одночленов также будет одночленом; ясно также, что одночлен в некоторой натуральной степени также является одночленом. Результаты таких действий (умножение одночленов и возведение одночлена в степень) обычно приводят к стандартному виду.

Пример 1

Привести к стандартному виду одночлены: 1) 2)

Показать решение

1)

2) 4 xy 2 (–3 xz ) = –12 x 2 y 2 z .

Ответ. 1) 2)

Привести подобные члены в выражении

Корень n-ной степени Пусть и Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство Это число называется арифметическим корнем n -ной степени из неотрицательного числа и обозначается При этом число a называется подкоренным числом , а число n − показателем корня .

Упростить: 1) 2) 3)

Степень с произвольным показателем Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения a x и для любого действительного числа x ? Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x .

Два одночлена, приведённых к стандартному виду, называются подобными , если они совпадают или же отличаются только числовым коэффициентом. Сложение и вычитание подобных одночленов называется приведением подобных слагаемых .
Рациональные выражения