Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим дифференцируемую функцию независимой переменной y = f(x). Дифференциал этой функции dy = f'(x)dx зависит от х и dx = Dх. Приращение dx от х не зависит, так как приращения в данной точке х можно выбирать независимо от этой точки. Рассматривая dy = f'(x)dx только как функцию от х (то есть считая dx постоянным), можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d²у или d² f(x). Таким образом, по определению d²у = d(dу). Вычислим второй дифференциал функции y = f(x).

  Итак,

Аналогично определяются и вычисляются дифференциалы третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, дифференциалом n – го порядка или n-м дифференциалом функции y = f(x) называется дифференциал от ее (n-1) – го дифференциала: dⁿy = d(d^n-1y). Легко установить, что dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ. Дифференциал dy называют дифференциалом первого порядка. Из последней формулы следует . Математика лекции и задачи Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x),

Замечание. Для сложной функции форма дифференциала dⁿy при n>1 не обладает свойством инвариантности, а значит и . Однако часто и для сложной функции f⁽ⁿ⁾(x) обозначают , понимая   не как отношение дифференциалов, а как символ, обозначающий f⁽ⁿ⁾(x).

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.

Теорема Лагранжа  Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка сÎ(a, b), для которой выполняется условие: .

Теорема Коши

Теорема Лопиталя (Правило Лопиталя) Пусть - функции, непрерывные на [а, b], дифференцируемые в(а, b);  при всех хb) и f(а) = (а) = 0. Примеры на применение правила Лопиталя.

Примеры решения и оформления задач контрольной работы