|
Дифференциалы высших порядков
Рассмотрим дифференцируемую функцию независимой переменной y = f(x). Дифференциал этой функции dy = f'(x)dx зависит от х и dx = Dх. Приращение dx от х не зависит, так как приращения в данной точке х можно выбирать независимо от этой точки. Рассматривая dy = f'(x)dx только как функцию от х (то есть считая dx постоянным), можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d2у или d2 f(x). Таким образом, по определению d2у = d(dу). Вычислим второй дифференциал функции y = f(x).
Итак,
Аналогично определяются и вычисляются дифференциалы третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, дифференциалом n – го порядка или n-м дифференциалом функции y = f(x) называется дифференциал от ее (n-1) – го дифференциала: dny = d(dn-1y). Легко установить, что dny = f(n)(x)dxn. Дифференциал dy называют дифференциалом первого порядка. Из последней формулы следует
. Математика лекции и задачи Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x),
Замечание. Для сложной функции форма дифференциала dny при n>1 не обладает свойством инвариантности, а значит и
. Однако часто и для сложной функции f(n)(x) обозначают
, понимая
не как отношение дифференциалов, а как символ, обозначающий f(n)(x).
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ферма Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.
Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка сÎ(a, b), для которой выполняется условие:
.
Теорема Лопиталя (Правило Лопиталя) Пусть
- функции, непрерывные на [а, b], дифференцируемые в(а, b);
при всех хb) и f(а) =
(а) = 0. Примеры на применение правила Лопиталя.
Примеры решения и оформления задач контрольной работы |
|