Дифференциалы высших порядков
Рассмотрим дифференцируемую функцию независимой переменной y = f(x). Дифференциал этой функции dy = f'(x)dx зависит от х и dx = Dх. Приращение dx от х не зависит, так как приращения в данной точке х можно выбирать независимо от этой точки. Рассматривая dy = f'(x)dx только как функцию от х (то есть считая dx постоянным), можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d2у или d2 f(x). Таким образом, по определению d2у = d(dу). Вычислим второй дифференциал функции y = f(x).
Итак, 
Аналогично
определяются и вычисляются дифференциалы третьего, четвертого и так далее порядков.
Вообще, дифференциалом n – го порядка или n-м дифференциалом функции y
= f(x)
называется дифференциал от ее (n-1) – го дифференциала: dny = d(dn-1y).
Легко установить, что dny = f(n)(x)dxn. Дифференциал dy называют дифференциалом первого порядка.
Из последней формулы следует 
. Математика лекции и задачи Приложения
определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей
неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x),
Замечание.
Для сложной функции форма дифференциала dny при n>1 не обладает свойством
инвариантности, а значит и 
. Однако часто и для сложной функции
f(n)(x) обозначают 
, понимая 
не как отношение дифференциалов, а как символ, обозначающий f(n)(x).
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ферма Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.
Теорема Лагранжа
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка
сÎ(a, b),
для которой выполняется условие: 
.
Теорема Лопиталя
(Правило Лопиталя) Пусть 
- функции, непрерывные на [а, b], дифференцируемые
в(а, b);
при всех хb) и f(а) = 
(а) =
0. Примеры
на применение правила Лопиталя.