Высшая математика - лекции , примеры решения задач

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Метод Гаусса

Пусть требуется решить систему АХ=В. Над строками расширенной матрицы произведем элементарные преобразования, приводящие ее к виду, когда ниже элементов а11, а22, …, аrr будут стоять нули. Этот вид матрицы будем называть трапециевидным.

Отметим, что все преобразования, приводимые над строками расширенной матрицы, проводятся над соответствующими уравнениями данной системы, а, как известно, в таком случае получают равносильную данной систему уравнений.

Итак, преобразуем матрицу

к виду . (1.17)

Матрица (1.17) является расширенной матрицей укороченной системы

Числовые последовательности и операции над ними Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примерами последовательностей могут служить: последовательность всех членов бесконечной геометрической прогрессии, последовательность приближенных значений (x1 = 1, х2 = 1,4, х3 = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последовательности. Основные обозначения Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках.

 1.18)

Система (1.18) эквивалентна исходной системе.

Если хотя бы одно из чисел  отлично от нуля, то система (1.18) несовместна и вместе с ней несовместна исходная система.

Если же , то из укороченной системы получаем базисные неизвестные, перенеся в правые части укороченных уравнений свободные неизвестные.

 

Пример. Решить систему

Пример. Исследовать совместность системы

Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений  Такая система всегда совместна, так как этой системе удовлетворяют значения х1=х2=…=хn=0. Это решение системы называют тривиальным.

Пример. Решить систему


Решение типового варианта контрольной работы