Высшая математика - лекции , примеры решения задач

Элементы линейной алгебры

Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn. Выделим в этой матрице какие-нибудь k строк и k столбцов, 1 £ k £ min (m, n) . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами матрицы. Например, для матрицы можно составить миноры второго порядка и миноры первого порядка 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Обозначают ранг матрицы r (A).

В приведенном примере ранг матрицы равен двум, так как, например, минор

Ранг матрицы удобно вычислять методом элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям относят следующие:

1)     перестановки строк (столбцов); Курс лекций по математике

2)     умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3)     прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Эти преобразования не меняют ранга матрицы, так как известно, что 1) при перестановке строк определитель меняет знак и, если он не был равен нулю, то уже и не станет; 2) при умножении строки определителя на число, не равное нулю, определитель умножается на это число; 3) третье элементарное преобразование вообще не изменяет определитель. Таким образом, производя над матрицей элементарные преобразования, можно получить матрицу, для которой легко вычислить ранг ее и, следовательно, исходной матрицы.

Пример. Найти ранг матрицы

Пример. Вычислить ранг матрицы

Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

Пример. Матричным методом решить систему уравнений

Теорема Кронекера-Капелли Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы


Решение типового варианта контрольной работы