Первый и второй замечательные пределы

Пределы и непрерывность функции

Пределы и непрерывность функции

Предел функции

Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х,У. Элементы этих множеств будем обозначать малыми буквами, а тот факт, что какой-то элемент принадлежит некоторому множеству, будем обозначать символом Î (принадлежит): х Î Х,у Î Y. Кроме того, мы будем использовать символы " (любой) и $ (существует).

  Если каждому элементу хÎХ поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х) Î У, где Х и Y -данные числовые множества, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.

  Этот факт записывают так: у=f(х). Х называют множеством определения функции, а множество Y – множеством ее значений.

Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид: ,

  Можно сказать, что функция f осуществляет отображение множества Х в Y.

  Eсли любой элемент у Î Y является значением функции f, тo говорят, что функция f отображает множество Х на множество  

 Пример 1. Функция f(х) = sin х отображает интервал Х = (0,2p) на отрезок [-1,1].

 Действительно, изобразим у = sin х в интервале (0,2p). Очевидно, что каждое число из отрезка [-1,1] оси ОY является значением функции у = sin х.

Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, то есть "xÎX соответствует один и только один его образ y =f(x) Î Y и обратно, для " y Î Y найдется единственный прообраз x Î X такой, что f(x) = y. Тогда функция x =f--1(y), где y Î Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называется обратной для функции y = f(x).

 Иначе: обратная функция f -1 является отображением множества Y на множество X.

Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал a < x < b, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

Пример. Доказать, что  (2х +1) = 7.

Пример . Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, так как . Функция  не ограничена на множестве, содержащем точку х = 0.

Односторонние пределы Любой интервал (a, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.  Аналогично любой интервал (a, b), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью. Методы интегрирования замены переменной и интегрирование по частям

Пример. Функция f(x) = x2 является бесконечно малой при x®0, а  g (x) = бесконечно большой (при x ¹ 0).

  Замечание. Если , то в силу определения предела функции получаем: ïf(x)-Aï<e при xÎ O(а, б), что означает, что f(x)A является бесконечно малой при x® a. Тогда, полагая f(x)-A=a(x), имеем f(x) = A + a(x), где a(x) ® 0 при x ® a. Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей

Пример . Найти Пример. Найти пределы: , ,

Некоторые признаки существования предела функции Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sin x при x ® ¥ предела не имеет, хотя £ 1.  Укажем два признака существования предела функции.


Примеры решения и оформления задач контрольной работы