Высшая математика - лекции , примеры решения задач

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Расстояние от точки до плоскости

Если  – заданная точка и  – уравнение плоскости a, то расстояние от точки Мо до плоскости a определяется по формуле:

(2.33)

(доказывается аналогично (2.21)).

Прямую в пространстве можно задать уравнениями, аналогичными уравнениям прямой на плоскости: Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

(2.34)

 

– канонические уравнения, здесь хо, уо, zо – координаты заданной точки на прямой, а m, n, p – координаты направляющего вектора прямой (вектора, параллельного прямой);

(2.35)

– параметрические уравнения прямой;

(2.36)

– уравнения прямой, проходящей через две данные точки М11, у1, z1) и М22, у2, z2).

Прямую в пространстве можно задать также как линию пересечения двух плоскостей. Если уравнения этих плоскостей  и  где    – их нормальные векторы, то уравнения прямой (их линии пересечения) имеют вид

(2.37)

(2.37) – общие уравнения прямой в пространстве.

Для нахождения какой-нибудь точки на этой прямой достаточно придать одной из переменных конкретное числовое значение (например, х = 0), подставить его в систему (2.37) и решить ее относительно двух оставшихся переменных.

Направляющий вектор прямой (2.37) можно найти как векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей:

Пример. Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть требуется найти точку пересечения прямой и плоскости

Пример. Показать, что прямая лежит в плоскости


Решение типового варианта контрольной работы