Высшая математика - лекции , примеры решения задач центр восстановительного лечения

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба  (рис. 39).

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим r = ОМ – расстояние точки М от полюса,  – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Числа r и j называются полярными координатами точки М, r – полярный радиус, j – полярный угол точки М. По определению r ³ 0. Задание пары чисел (r, j) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение j пределами 0 £ j < 2p (или -p < j £ p), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел (r, j). Исключение составляет полюс, для которого r = 0, а угол j не определен. Математический анализ, примеры решения задач Свойства дифференцируемых функций

Рис. 39

Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси Ор (рис.40). Тогда полярные координаты (r, j) и декартовы координаты (х, у) точки М связаны соотношениями:

(2.25)

(2.26)

Из этих формул следует:

(2.27)

Рис. 40

Формула для tgj определяет два угла j и j + p в промежутке [0; 2p). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (2.27).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо х, у подставить в уравнение их выражения из формул (2.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (2.26), (2.27).

Пример. Построить в полярной системе координат точки

Пример. Дано полярное уравнение линии Построить эту линию по точкам. Найти ее декартово уравнение, расположив систему Охy

Пример. Найти полярное уравнение окружности

Неполные уравнения плоскостей Если в уравнении плоскости какие-либо из коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости.


Решение типового варианта контрольной работы