Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Площадь поверхности вращения У нас можно заказать печать визиток различного вида.

Математика Определение градиента и стационарных точек функции

 

Пусть в области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ задана функция $ f(x)$ , которая в некоторой точке $ x^0\in{\Omega}$ имеет частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$ по всем переменным $ x_i$ , $ i=1,\dots,n$ .

        Определение 8.1   Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть вектор

 

$\displaystyle g(x^0)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x);\dots;\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\Bigr),$

называется градиентом функции $ f(x)$ , вычисленным в точке $ x^0$ . Градиент $ g(x^0)$ обозначается также $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ и $ (\nabla f)(x^0)$ .

Если частные производные существуют во всех точках области $ {\Omega}$ , то градиент, вычисленный в произвольной переменной точке $ x\in{\Omega}$ , представляет собой вектор-функцию $ g(x)=(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x)$ со значениями в $ \mathbb{R}^n$ .     

В некоторых точках $ x^0$ градиент может оказаться нулевым вектором. Тогда значения всех частных производных в точке $ x^0$ будут равны 0:

 

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)=0\Longrightarrow \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)=0$ при всех $\displaystyle i=1,\dots,n.$

Такие точки $ x^0$ называются стационарными точками функции $ f(x)$ .

      

 Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор  и линейное преобразование В, переводящее вектор  в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор  в вектор .

С = В×А

Т.е.

 Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-4x_1+3x_2$ , заданную на всей плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$ .

Производная по направлению

Определение Значение предела $\displaystyle \lim_{\substack{x\to x^0\\ x\in\ell_+}}\frac{f(x)-f(x^0)}{\vert x-x^0\vert}$

Свойства градиента и производной по направлению

Пример Пусть в $ \mathbb{R}^2$ задана функция $\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}.$

Поверхностями уровня линейной функции $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3$

Пример Пусть поверхность $ S$ задана уравнением $\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1$

Найдём стационарные точки функции $\displaystyle f(x;y)=x^2+xy+y^2-4x-2y,$

Пример Найдём уравнения касательной плоскости и нормали, проведённых к поверхности уровня функции $ f(x;y;z)=x^2+y^2+4z^2$ , проходящей через точку $ M_0(-2;1;-1)$ .

Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2+2xy$

Пример Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y;z)=xy^2z+3x^2yz^3$

Найдём уравнение касательной плоскости к поверхности $ S$ , заданной уравнением $\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2-z=0,$

Пример Найдём уравнения касательной и нормали, проведённых к линии уровня $ C=3$ функции $ f(x;y)=2x^2y^3+xy^4$ в точке $ M_0(1;1)$ .

Функции нескольких переменных и их дифференцирование