Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Площадь поверхности вращения

Курс лекций Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пример 7.23   Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

 

Рассмотрим функцию

 

$\displaystyle f(x;y;z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

и будем трактовать числа $ 0{,}98=1+(-0{,}02);\ 2{,}03=2+0{,}03;\ 1{,}96=2+(-0{,}04)$ как малые отклонения на $ {dx=-0{,}02}$ , $ {dy=0{,}03}$ , $ {dz=-0{,}04}$ от "круглых" значений $ {x_0=1,\ y_0=2,\ z_0=2}$ .

Поскольку

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}};
\fra...
...qrt{x^2+y^2+z^2}};
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$

то дифференциал функции равен

 

$\displaystyle df=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dx+
\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}d...
...ac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dz=
\frac{x\;dx+y\;dy+z\;dz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dz.
$

Значение функции в точке $ (x_0;y_0;z_0)=(1;2;2)$ равно $ f(1;2;2)=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3;$ значения частных производных равны

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1;2;2)=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}...
... \frac{\partial f}{\partial y}(1;2;2)=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{2}{3};$   
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(1;2;2)=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{2}{3}.$   

Поэтому

 

$\displaystyle df=\frac{1}{3}\cdot(-0{,}02+\frac{2}{3}\cdot0{,}03+\frac{2}{3}\cdot(-0{,}04)=
-\frac{0{,}04}{3}\approx-0{,}0133$

и

 

$\displaystyle f(1{,}98;2{,}03;1{,}96)=\sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}\approx
3+(-0{,}0133)=2{,}9867.$

Парабола.

  Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

 

 Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

 у

 А М(х, у)

 


  О F x

 


  p/2 p/2

 Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

 Из геометрических соотношений:  AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

 

y2 = 2px

  Уравнение директрисы: x = -p/2.

Функции нескольких переменных и их дифференцирование