Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Площадь поверхности вращения

Курс лекций Касательная плоскость к графику функции

  Пример 7.22   Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

 

$\displaystyle z=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9},$

проходящих через точку $ (2;3;2)$ . (Заметим, что эта поверхность -- график функции $ f(x;y)=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9},$  -- эллиптический параболоид.)

Рис.7.23.



Частные производные от $ f$ , вычисленные в точке $ M_0(2;3)$ , равны

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(2;3)=\frac{x}{2}\Bigr\vert _{x=2}=1...
...d \frac{\partial f}{\partial y}(2;3)=\frac{2y}{9}\Bigr\vert _{y=3}=\frac{2}{3}.$

Подставляя координаты точки касания и значения производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем

 

$\displaystyle 1\cdot(x-2)+\frac{2}{3}(y-3)-(z-2)=0,$

то есть

 

$\displaystyle x+\frac{2}{3}y-z-2=0$ (касательная плоскость)$\displaystyle ,$

и

 

$\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{\frac{2}{3}}=\frac{z-2}{-1}$ (нормаль)$\displaystyle .$

    

Заметим, что касательная плоскость pасположена гоpизонтально, то есть задаётся уpавнением $ z=z_0$ , если значения частных пpоизводных в точке $ (x_0;y_0)$ pавняются 0:

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x_0;y_0)=0;\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0;y_0)=0.$

Такие точки $ (x_0;y_0)$ называются стационаpными точками функции $ f(x;y)$

 Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.

Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

Уравнение прямой, проходящей через две точки:

 Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

 Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =  

Итого: .

Функции нескольких переменных и их дифференцирование