Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Площадь поверхности вращения

Курс лекций Касательная плоскость к графику функции

Пусть дана функция двух переменных $ f(x;y)$ , заданная в некоторой области $ {\Omega}$ , и точка $ M_0(x_0;y_0)\in{\Omega}$ такова, что существуют частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}$ и $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}$ , непрерывные в точке $ M_0(x_0;y_0)$ .

Рассмотрим график данной функции: $ z=f(x;y)$ и его сечения вертикальными плоскостями $ y=y_0$ и $ x=x_0$ . Как отмечалось выше, прямые, касательные к сечениям графика в этих плоскостях, наклонены, соответственно, к осям $ Ox$ и $ Oy$ под углами $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ , такими, что $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\frac{\textstyle{f}}{\textstyle{x}}(M_0)$ и $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\frac{\textstyle{f}}{\textstyle{y}}(M_0)$ .

Рис.7.22.



Проведём плоскость через эти две взаимно перпендикулярные касательные. Эта плоскость будет касательной к поверхности графика $ z=f(x;y)$ . Найдём её уравнение.

Запишем уравнение

$\displaystyle z-z_0=\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)(y-y_0),$(7.13)

где $ z_0=f(x_0;y_0)$ , и покажем, что плоскость (7.13) в пространстве $ \mathbb{R}^3_{x,y,z}$ , где расположен график, обладает нужными свойствами. Действительно, эта плоскость проходит через точку касания $ (x_0;y_0;z_0)$ , что проверяется подстановкой координат этой точки в уравнение плоскости (7.13). При $ x=x_0$ , то есть в сечении плоскости (7.13) вертикальной плоскостью $ x=x_0$ , получаем

 

$\displaystyle z=z_0+\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)(y-y_0),$

откуда тангенс угла наклона прямой, лежащей в пересечении плоскостей, с осью $ Oy$ равен

 

$\displaystyle z'_y=\frac{\partial f}{\partial y}(M_0).$

Значит, плоскость (7.13) пересекается с вертикальной плоскостью в точности по касательной к сечению графика. Аналогично, плоскость $ y=y_0$ пересекается с плоскостью (7.13) в точности по касательной этого вертикального сечения.

Уравнение (7.13) можно записать также в виде

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(M_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0.$

Прямая, проходящая через точку касания $ (x_0;y_0;z_0)$ перпендикулярно касательной плоскости к поверхности $ z=f(x;y)$ , называется нормалью к этой поверхности, проведённой в точке $ (x_0;y_0;z_0)$ , или нормальной прямой.

Поскольку вектор

 

$\displaystyle \ov m=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(M_0);\frac{\partial f}{\partial y}(M_0);-1\Bigr),$

очевидно, перпендикулярен к касательной плоскости (поскольку его координаты равны коэффициентам при $ x,\ y$ и $ z$ в уравнении касательной плоскости) и, следовательно, параллелен нормали, проведённой через точку касания, то уравнения нормали мы получим как канонические уравнения прямой, проходящей через заданную точку $ (x_0;y_0;z_0)$ параллельно известному вектору $ \ov m$ :

 

$\displaystyle \frac{x-x_0}{\frac{\partial f}{\partial x}(M_0)}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial f}{\partial y}(M_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.$

Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Функции нескольких переменных и их дифференцирование