Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Площадь поверхности вращения

Курс лекций Выпуклые множества и функции

   
   Теорема 7.19   Если функция $ f(x)$ выпукла в области $ {\Omega}$ , то функция $ g(x)=f^2(x)$ также выпукла в $ {\Omega}$ .

        Доказательство.     Пусть снова $ x^0,\ x^1\in{\Omega}$ и $ x^{{\theta}}=(1-{\theta})x^0+{\theta}x^1$ , где $ {\theta}\in[0;1]$ . Тогда, ввиду того что $ g(x)=(f(x))^2\geqslant 0$ , получаем:

$\displaystyle g(x^{{\theta}})=(f(x^{{\theta}}))^2\leqslant 
 (1-{\theta})^2(f(x^0))^2+2{\theta}(1-{\theta})f(x^0)f(x^1)+{\theta}^2(f(x^1))^2=$   
$\displaystyle =(1-{\theta})(f(x^0))^2+{\theta}(f(x^1))^2-{\theta}(1-{\theta})(f(x^0)-f(x^1))^2\leqslant$   
$\displaystyle \leqslant (1-{\theta})(f(x^0))^2+{\theta}(f(x^1))^2=
 (1-{\theta})g(x^0)+{\theta}g(x^1).$   

Последнее неравенство следует из того, что $ {\theta}(1-{\theta})\geqslant 0$ при $ {\theta}\in[0;1]$ .     

Следующие три утверждения остаются читателю для самостоятельного доказательства в качестве упражнения.

        Теорема 7.20   Если функции $ f(x)$ и $ g(x)$ выпуклы в области $ {\Omega}$ и $ C_1\geqslant 0,\ C_2\geqslant 0$ , то функция $ h(x)=C_1f(x)+C_2g(x)$ также выпукла в $ {\Omega}$ .

Если функции $ f(x)$ и $ g(x)$ выпуклы в области $ {\Omega}$ , то функция $ h(x)=\max\{f(x);g(x)\}$ также выпукла в $ {\Omega}$ .

Если функция $ f(x)$ выпукла в области $ {\Omega}$ , а функция одного переменного $ {\varphi}(z)$ выпукла на интервале $ I\sbs\mathbb{R}_z$ , содержащем множество значений функции $ f(x)$ при всех $ x\in{\Omega}$ , и $ {\varphi}$ возрастает всюду на интервале $ I$ или убывает всюду на $ I$ , то композиция $ h(x)={\varphi}(f(x))$ выпукла в $ {\Omega}$ . (Например, если функция $ f(x)$ выпукла в $ {\Omega}$ , то функция $ h(x)=e^{f(x)}$ также будет выпуклой в $ {\Omega}$ .)     

Выпуклые функции интересны такой своей особенностью: они не могут иметь нескольких локальных минимумов с разными значениями.

Сначала дадим такое определение.

        Определение 7.16   Пусть $ {\Omega}$  -- некоторая область в $ \mathbb{R}^n$ .

Точка $ x^0\in{\Omega}$ называется точкой локального минимума функции $ f(x)$ , если существует такая окрестность $ B^{x^0}_{{\delta}}$ , $ {\delta}>0$ , что $ f(x)\geqslant f(x^0)$ при всех $ x\in B^{x^0}_{{\delta}}$ . Если при этом $ f(x)>f(x^0)$ при всех $ x\in B^{x^0}_{{\delta}}$ , не совпадающих с $ x^0$ , то точка $ x^0$ называется точкой строгого локального минимума. И в том и в другом случае значение $ f(x^0)$ называется локальным минимумом функции $ f(x)$ .

Точка $ x^0\in{\Omega}$ называется точкой локального максимума функции $ f(x)$ , если существует такая окрестность $ B^{x^0}_{{\delta}}$ , $ {\delta}>0$ , что $ f(x)\leqslant f(x^0)$ при всех $ x\in B^{x^0}_{{\delta}}$ . Если при этом $ f(x)<f(x^0)$ при всех $ x\in B^{x^0}_{{\delta}}$ , не совпадающих с $ x^0$ , то точка $ x^0$ называется точкой строгого локального максимума. И в том и в другом случае значение $ f(x^0)$ называется локальным максимумом функции $ f(x)$ .     


Функции нескольких переменных и их дифференцирование