Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Площадь поверхности вращения

Математика Дифференцируемость функции и дифференциал

 

Пусть функция $ f(x)$ задана в некоторой области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , и $ x^0$  -- внутренняя точка этой области. Пусть $ x$  -- произвольная точка этой же области $ {\Omega}$ . Разность $ {\Delta}x=x-x^0$ называется приращением аргумента $ x$ ; $ {\Delta}x=({\Delta}x_1;\dots;De x_n$ , где $ {\Delta}x_i=x_i-x^0_i$ . Разность значений функции $ {\Delta}f=f(x)-f(x^0)$ называется приращением, или полным приращением функции $ f$ в точке $ x^0$ , соответствующим приращению аргумента $ {\Delta}x$ ; $ {\Delta}f={\Delta}f(x^0;{\Delta}x)$  -- это функция от точки $ x^0$ и приращения $ {\Delta}x$ .

Предположим, что приращение функции можно представить в виде

$\displaystyle {\Delta}f(x^0;{\Delta}x)=D_1(x^0){\Delta}x_1+\ldots+D_n(x^0){\Delta}x_n+{\alpha}(x^0;{\Delta}x),$(7.2)

где $ D_1(x^0),\dots,D_n(x^0)$  -- некоторые числа. Подчеркнём, что эти числа не зависят от $ {\Delta}x$ , но могут измениться, если сменить точку $ x^0$ . Относительно величины $ {\alpha}(x^0;{\Delta}x)$ мы предположим, что это функция, при базе $ {\Delta}x\to0$ являющаяся величиной большего порядка малости, чем $ \vert{\Delta}x\vert$ . Это означает, если вспомнить определение бесконечно малой величины большего порядка малости относительно другой бесконечно малой, что

 

$\displaystyle \lim_{\vert{\Delta}x\vert\to0}\frac{{\alpha}(x^0;{\Delta}x)}{\vert{\Delta}x\vert}=0.$

Заметим, что сумма всех слагаемых левой части (7.2), кроме последнего, -- это линейная функция от приращения аргумента $ {\Delta}x$ , если точка $ x^0$ фиксирована. Условие большей малости последнего слагаемого (7.2) относительно $ \vert{\Delta}x\vert$ означает, что эта линейная функция -- главная часть приращения функции.

Определение

Связь дифференциала с частными производными

Пример Найдём дифференциал функции трёх переменных

Теорема Пусть функция $ f(x)$ имеет в некоторой окрестности точки $ x^0$ частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)$

Замечание

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Инвариантность дифференциала

Равенство смешанных частных производных

Следствие Пусть даны две частные производные

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Теорема о неявной функции

Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

Пример Равенство $\displaystyle g(x;y)=x^2-y^2=0$

Производные неявно заданной функции

Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

Функции нескольких переменных и их дифференцирование