Неопределённый интеграл Приближённое нахождение первообразных

Первообразная и неопределённый интеграл

Свойства первообразных и неопределённого интеграла вытекают из определения и соответствующих свойств производных.

1. Из определения вытекает, что $\displaystyle \int F'(x)\,dx=F(x)+C$ и $\displaystyle \Bigl(\int f(x)\,dx\Bigr)'=f(x).$

Второе равенство нужно понимать так, что производная любой из функций, составляющих неопределённый интеграл, даёт один и тот же результат, равный подынтегральной функции (это как раз и есть определение первообразной). Два написанных равенства выражают взаимную обратность операций дифференцирования и интегрирования.

2. Имеет место равенство: $\displaystyle \int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx,$

где $ k$  -- произвольная постоянная. Для доказательства обозначим через $ F(x)$ некоторую первообразную для $ f(x)$ , а через $ G(x)$  -- некоторую первообразную для $ kf(x)$ . Тогда равенство означает, что $ G(x)=kF(x)+C$ , где $ C$  -- постоянная. Это равенство верно, поскольку производные левой и правой частей дают одно и то же: $ G'(x)=kf(x)$ , так как $ G(x)$  -- первообразная для $ kf(x)$ , а $ (kF(x))'=kF'(x)=kf(x)$ , так как постоянный множитель можно вынести за знак производной и $ F'(x)=f(x)$ .

Итак, постоянный множитель можно вынесить за знак интеграла.

Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

 Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

, т.е. А(0, 2, 1).

 Находим компоненты направляющего вектора прямой.

 Тогда канонические уравнения прямой:

Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

 Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

  Получаем: A(-1; 3; 0).

Направляющий вектор прямой: .

Итого:

Угол между плоскостями.

 


 

  Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j1 соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1, т.е.

cosj = ±cosj1.

  Определим угол j1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:

, где

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

.

 Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

 Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов: $\displaystyle \int(f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.$

Найдём интеграл $ \int(2\sin x+5\cos x)\,dx$ , пользуясь линейностью интеграла

Формула замены переменного

Вычислим интеграл $ \int e^{x^2}x\,dx$ .

Линейная замена

Формула интегрирования по частям

Найдём интеграл $ \int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям.

Найдём интеграл $ \int\ln x\,dx$ .

О "неберущихся" интегралах

Неберущимся является интеграл $\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$

Ещё один неберущийся интеграл : $\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$

Пример Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .