Интеграл с переменным верхним пределом Формула замены переменного в определённом интеграле

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

 

   Следствие 5.1   При $ x\in[x_{i-1};x_i]$ имеет место оценка
$\displaystyle \vert f(x)-l_i(x)\vert\leqslant \frac{M_2}{2}(x-x_{i-1})(x_i-x).$

        Доказательство.     Применим формулу (5.1) к функции $ g=f$ и отрезку $ {[{\alpha};{\beta}]=[x_{i-1};x_i]}$ и получим:

 

$\displaystyle \vert f(x)-l_i(x)\vert=\frac{1}{2}\vert f''(\xi)\vert \vert(x-x_{i-1})(x-x_i)\vert\leqslant
\frac{1}{2}M_2(x-x_{i-1})(x_i-x).$

Здесь мы заметили, что $ x_{i-1}$ и $ x_i$  -- корни квадратного трёхчлена $ (x-x_{i-1})(x-x_i)$ , так что на отрезке между корнями квадратный трёхчлен не больше нуля, и поэтому

 

$\displaystyle (x-x_{i-1})(x-x_i)=-(x-x_{i-1})(x-x_i)=(x-x_{i-1})(x_i-x).$

    

Ошибку на $ i$ -м отрезке разбиения мы можем теперь оценить так:

 

$\displaystyle \Bigl\vert\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-l_i(x))\;dx\Bigr\vert\leqslan...
...{i-1}}^{x_i}\frac{M_2}{2}(x-x_{i-1})(x_i-x)\;dx=
\frac{M_2}{12}(x_i-x_{i-1})^3$

(последний интеграл легко вычисляется). Городской пейзаж

Просуммируем теперь оценки ошибок на каждом отрезке разбиения и получим оценку ошибки всей квадратурной формулы трапеций:

 

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_T\vert\leqslant \sum_{i=1}^n
\Bigl\vert\int_{...
...{x_i}l_i(x)\;dx\Bigr\vert\leqslant
\frac{M_2}{12}\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})^3.$

Если длины всех отрезков разбиения взяты одинаковыми, равными $ h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то полученная оценка даёт

 

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_T\vert\leqslant
\frac{M_2}{12}nh^3=
\frac{M_2(b-a)}{12}h^2=
\frac{M_2(b-a)^3}{12}\cdot\frac{1}{n^2}.$

Оценки ошибок $ {\varepsilon}_T$ и $ {\varepsilon}_R$ , как мы видим, отличаются ровно в два раза. Выше мы отмечали, что эти ошибки имеют противоположные знаки, если функция $ f''(x)$ сохраняет знак на отрезке интегрирования. Значит, на каждом отрезке знакопостоянства функции $ f''(x)$ ошибки $ \frac{{\varepsilon}_T}{2}$ и $ {\varepsilon}_R$ будут примерно компенсировать друг друга. Подобно тому как мы получили формулу трапеций из формул левых и правых прямоугольников, попробуем получить усреднённую квадратурную формулу, скомбинировав формулы центральных прямоугольников и трапеций; при этом нас подогревает надежда на то, что новая формула будет иметь существенно меньшую ошибку. Умножая $ I_R$ на $ \frac{1}{2}$ , для того чтобы уравновесить ошибки противоположных знаков, получаем:

 

$\displaystyle I\approx I_{RT}=\frac{2}{3}(I_R+\frac{1}{2}I_T).$

Преобразуем полученную квадратурную формулу, рассмотрев, из каких слагаемых состоит её правая часть. Величины, соответствующие приближённым значениям интеграла по отрезку разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ , дают

$\displaystyle \frac{2}{3}\Bigl(f(x_{i-\frac{1}{2}})+\frac{1}{4}\bigl(f(x_{i-1})...
...igl)=
 \frac{1}{6}f(x_{i-1})+\frac{2}{3}f(x_{i-\frac{1}{2}})+\frac{1}{6}f(x_i)=$   
$\displaystyle =\frac{1}{6}\bigl(f(x_{i-1})+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_i)\bigr).$   

Суммируя эти величины по всем отрезкам разбиения, получаем квадратурную формулу:

$\displaystyle I\approx I_{RT}=
 \frac{1}{6}
 \sum_{i=1}^n
 \bigl(f(x_{i-1})+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_i)\bigr)
 (x_i-x_{i-1}).$(5.2)

Ниже мы увидим, что эта формула в точности совпадает с формулой Симпсона.

 

Градиент и производная по направлению