Интеграл с переменным верхним пределом Формула замены переменного в определённом интеграле

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

 

    Теорема 5.1 (о погрешности линейной интерполяции)   Пусть $ f(x)$  -- функция, имеющая на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$ непрерывную вторую производную $ f''(x)$ , а $ l(x)$  -- линейная функция, такая что $ l({\alpha})=f({\alpha});\ l({\beta})=f({\beta})$ . Назовём функцию $ l(x)$ линейной интерполирующей функцией для $ f(x)$ на $ [{\alpha};{\beta}]$ , а разность $ r(x)=f(x)-l(x)$ погрешностью линейной интерполяции.

Тогда найдётся такая точка $ \xi\in[{\alpha};{\beta}]$ , что

$\displaystyle r(x)=\frac{1}{2}f''(\xi)(x-{\alpha})(x-{\beta}).$ (5.1)

        Доказательство.     Очевидно, что при $ x={\alpha}$ и $ x={\beta}$ равенство (5.1) выполняется, как бы ни была выбрана точка $ \xi$ , поскольку и левая, и правая части равенства обращаются тогда в ноль. Пусть теперь точка $ x=\ov x$ не совпадает ни с $ {\alpha}$ , ни с $ {\beta}$ . Рассмотрим вспомогательную функцию

 

$\displaystyle g(x)=f(x)-l(x)-k(x-{\alpha})(x-{\beta}),$

зависящую от параметра $ k$ , и выберем значение $ k$ так, чтобы было выполнено равенство $ g(\ov x)=0$ . Легко видеть, что для этого нужно взять $ k=\frac{\textstyle{f(\ov x)-l(\ov x)}}{\textstyle{(\ov x-{\alpha})(\ov x-{\beta})}}.$ Тогда

 

$\displaystyle r(\ov x)=f(\ov x)-l(\ov x)=k(\ov x-{\alpha})(\ov x-{\beta}).$

Функция $ g(x)$ обращается в 0 в трёх точках: $ {\alpha},\ {\beta}$ и $ \ov x$ . Значит, по теореме Ролля, её производная $ g'(x)$ обращается в 0 в каких-то двух точках $ {\alpha}_1\in({\alpha};\ov x)$ и $ {\beta}_1\in(\ov x;{\beta})$ . Применяя снова теорему Ролля, теперь уже к производной $ g'(x)$ на отрезке $ [{\alpha}_1;{\beta}_1]$ , получаем, что $ g''(x)$ обращается в 0 в некоторой точке $ \xi\in({\alpha}_1;{\beta}_1)$ . Однако функцию $ g''(x)$ легко вычислить:

 

$\displaystyle g''(x)=f''(x)-l''(x)-k((x-{\alpha})(x-{\beta}))''=f''(x)-2k,$

так как вторая производная линейной функции $ l$ равна 0. Таким образом, $ k=\frac{1}{2}f''(\xi)$ , и

 

$\displaystyle r(\ov x)=\frac{1}{2}f''(\xi)(\ov x-{\alpha})(\ov x-{\beta}).$

Остаётся заметить, что точка $ \ov x$ выбиралась как произвольная точка интервала $ ({\alpha};{\beta})$ , и доказательство завершено.     

Возвращаемся к изучению ошибки формулы трапеций и связанным с этим обозначениям.

Градиент и производная по направлению