Интеграл с переменным верхним пределом Формула замены переменного в определённом интеграле

Приближённое вычисление определённых интегралов

 

Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

 

Относительно подынтегральной функции $ f(x)$ мы будем предполагать, что она непрерывна на отрезке интегрирования, а также, когда это понадобится, что она имеет на этом отрезке производные до некоторого порядка.

Вычислять значение интеграла $ I$ мы будем по значениям функции $ f(x)$ в некоторых точках отрезка $ x_i$ . Эти значения $ y_i=f(x_i)$ мы будем предполагать известными, то есть предполагать, что у нас есть некоторый эффективный способ вычисления значений функции с любой требуемой точностью. Формулы, позволяющие по известным значениям $ y_i$ приближённо определить значение $ I$ , называются квадратурными формулами.

Для наглядности мы будем прибегать к геометрической интерпретации смысла определённого интеграла, как площади некоторой криволинейной трапеции, в случае функции $ f(x)\geqslant 0$ . Следует, однако, иметь в виду, что квадратурные формулы, которые мы будем получать, имеют смысл для функций, принимающих значения произвольного знака.

При $ f(x)\geqslant 0$ вычислить интеграл $ I$ значит найти площадь под графиком $ y=f(x)$ , расположенную над отрезком $ [a;b]$ . Естественной идеей является следующее построение: разобьём отрезок на части точками деления $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_{n-1}$ и положим $ x_0=a$ и $ x_n=b$ (см. определение значения определённого интеграла). Тогда разбиение отрезка $ [a;b]$ состоит из отрезков $ [x_{i-1};x_i]$ при $ i=1,\dots,n$ . Вместо площади под графиком, равной $ I$ , будем приближённо находить суммарную площадь узких полосок, лежащих над отрезками разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ (см. рис.).

Рис.5.1.

Сравнение бесконечно малых функций.

 Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

 Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

 Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.

 Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.

 Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

 Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

 Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел  конечен и отличен от нуля.

 Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение  не имеет предела, то функции несравнимы.

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Квадратурная формула центральных прямоугольников

Квадратурная формула трапеций

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

Теорема

Следствие

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции

Квадратурные формулы более высокого порядка точности

Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

Градиент и производная по направлению