Интеграл с переменным верхним пределом Формула замены переменного в определённом интеграле

Несобственные интегралы Примеры решений задач

Пусть на полуинтервале $ [a;b)$ задана функция $ f(x)$ , интегрируемая на любом отрезке $ [a;b_1]$ , где $ b_1\in[a;b)$ , однако не интегрируемая на отрезке $ [a;b]$ . В точке $ b$ эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к $ \infty$ при $ x\to b-$ , любо вовсе не иметь никакого предела при этой базе. Рассмотрим функцию

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_a^{b_1}f(x)\;dx,$

она определена при $ x\in[a;b)$ . Эта функция $ \Phi(b_1)$ может иметь предел при $ b_1\to b-$ (левосторонний предел). Этот предел мы будем называть значением интеграла от $ f(x)$ по всему полуинтервалу $ [a;b)$ и обозначать в точности как обычный интеграл:

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx.$

Итак, дадим такое определение:

        Определение 4.6   Пусть функция $ f(x)$ удовлетворяет указанным выше условиям на $ [a;b)$ . Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл

$\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx,$

значение $ I$ которого равняется левостороннему пределу

$\displaystyle I=\lim_{b_1\to b-}\int_a^{b_1}f(x)\;dx.$

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\infty.$

    

Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при -->$ f(x)\geqslant 0$ ) исчерпание плошади неограниченной фигуры под графиком функции $ y=f(x)$ над $ [a;b)$ с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком $ [a;b_1]$ , а затем приближением правого конца $ b_1$ к точке $ b$ (см. рис.).

Рис.4.7.



Итак, площадь неограниченной фигуры, изображённой на рисунке, по определению равна значению несобственного интеграла -->$ \int_a^bf(x)\;dx$ .

Найдём площадь фигуры, расположенной под графиком функции --> над промежутком .

Пример Рассмотрим интеграл

Свойства несобственных интегралов второго рода

Несобственные интегралы с несколькими особенностями

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx,$

Градиент и производная по направлению