Формула понижения степени Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Формула замены переменного в определённом интеграле

 

     Пример 3.4   Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

 

Выгодно взять $ u=x$ и $ dv=e^{2x}dx$ , так что получаем:

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 u=x\\ 
 dv=e^{2...
...ht\vert=
 x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1
 -\int_0^1\frac{1}{2}e^{2x}dx=$   
$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\int_0^1e^{2x}dx=
 \frac{e^2}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=$   
$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(e^2+1).$   

При этом возникший по дороге внеинтегральный член $ x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1$ мы вычислили так:

 

$\displaystyle x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=
1\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot1}-0\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot0}=\frac{e^2}{2}.$

    

Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд.

        Пример 3.5   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...rray}{l}
 u=x\\ 
 dv=\cos x\;dx\\ 
 du=dx\\ 
 v=\sin x
 \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle =\underbrace{x\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}}_{{}=\frac{\pi}...
...\sin x\;dx=
 \frac{\pi}{2}+\cos x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1.$   

Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов $ -x^2\cos x$ и $ x\sin x$ , а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на $ \frac{\pi}{2}$ , что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.     

Непрерывность функции в точке.

 Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

 Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

 y

 f(x0)+e

 f(x0)

 f(x0)-e

0 x0-D  x0 x0+D x

Пример разрывной функции:

 y

 f(x0)+e

 f(x0)

 f(x0)-e

 x0 x

 Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство .

 Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x0) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х0.

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}.$

При $ x>0$ вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

Найдём значение функции $\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$

Несобственные интегралы первого рода

Вычислим значение интеграла

Пример Рассмотрим теперь несобственный интеграл

Определение Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где > .

Определение

Свойства несобственных интегралов первого рода

Теоpема сpавнения Пусть даны две функции и , заданные на , причём при всех выполняется неравенство

Замечание

Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона сходится.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Пример Исследуем сходимость несобственного интеграла

Теорема Если интеграл сходится, то сходится также интеграл

Рассмотрим несобственный интеграл