Формула понижения степени Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов

Теперь, после изучения формулы Ньютона - Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям.

Формула замены переменного в определённом интеграле.

        Теорема 3.14   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a';b']$ , а функция $ {\varphi}(t)$ имеет непрерывную производную $ {\varphi}'(t)$ на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$ , причём все значения $ x={\varphi}(t)$ при $ t\in[{\alpha};{\beta}]$ принадлежат отрезку $ [a';b']$ , в том числе $ {\varphi}({\alpha})=a$ и $ {\varphi}({\beta})=b$ . Тогда имеет место равенство

$\displaystyle \int_{{\alpha}}^{{\beta}}f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Пусть $ F(x)$  -- некоторая первообразная для $ f(x)$ , так что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=F(b)-F(a),$

и $ G(t)$  -- некоторая первообразная для $ f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)$ , так что

$\displaystyle \int_{{\alpha}}^{{\beta}}f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=G({\beta})-G({\alpha}).$

Поскольку по теореме о замене переменного в неопределённом интеграле имеет место формула

$\displaystyle \int f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=\int f(x)\;dx\Bigr\vert _{x={\varphi}(t)},$

то есть

$\displaystyle G(t)=F({\varphi}(t))+C,$

где $ C=\mathrm{const}$ , то при $ t={\beta}$ и $ t={\alpha}$ имеем $ G({\beta})=F({\varphi}({\beta}))+C$ и $ G({\alpha})=F({\varphi}({\alpha}))+C$ , откуда

$\displaystyle G({\beta})-G({\alpha})=F({\varphi}({\beta}))-F({\varphi}({\alpha})).$

Учитывая, что $ {\varphi}({\beta})=b$ и $ {\varphi}({\alpha})=a$ , получаем

$\displaystyle G({\beta})-G({\alpha})=F(b)-F(a),$

а это и есть доказываемая формула замены переменного.     

  Замечание 3.4   Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной $ x$ не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной $ t$ . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной $ x$ должны быть указаны пределы изменения именно $ x$ (то есть $ a$ и $ b$ ), в то время как в исходном интеграле по переменной $ t$ указаны пределы изменения $ t$ (то есть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ )!

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, -- те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.