Формула понижения степени Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции Мы поможем получить виза в Великобританию от Бизнесслинк.

Интеграл с переменным верхним пределом

 

Рассмотрим функцию $ f(x)$ , заданную на отрезке $ [a;b]$ , и предположим, что она интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда при любом $ x\in(a;b]$ эта функция будет интегрируема на отрезке $ [a;x]$ и, следовательно, функция

 

$\displaystyle \Phi(x)=\int_a^xf(t)\;dt$

определена при всех $ x\in(a;x]$ . При $ x=a$ мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что $ \int_a^af(t)\;dt=0$ для любой функции $ f$ и точки $ c$ из её области определения. Итак, функция $ \Phi(x)$ равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции $ f(x)$ , не обязательно непрерывной.

   

    

  Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то .

 Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, то координаты этой точки определяются как:

 В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.

Линейные операции над векторами в координатах.

 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

 тогда

Скалярное произведение векторов.

 Определение. Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ïïïïcosj

 Свойства скалярного произведения:

× = ïï2;

× = 0, если ^ или = 0 или  = 0.

× = ×;

×(+) = ×+ ×;

(m)× = ×(m) = m(×);

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

× = xa xb + ya yb + za zb;

 Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Теорема Функция $ \Phi(x)$ , определённая выше, непрерывна при всех $ x\in[a;b]$ для любой интегрируемой функции $ f$ .

Пример Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$

Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами