Электротехника
Физика
Математика
Графика
Курсовой
Черчение
Архитектура
Начерталка

Математика

Задачи
Информатика
Лабы

Свойства определённого интеграла

 
        Теорема 3.10   Пусть функция $ f(x)$ интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$ также интегрируема на $ [a;b]$ , причём


        Доказательство.     Докажем сначала, что функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$ интегрируема. Пусть $ \ul{y}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ , $ \ov{y}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ . $ \ul{z}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$ , $ \ov{z}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$ . Тогда для произвольных $ x',x''\in[x_{i-1};x_i]$ будет

$\displaystyle \vert f(x')\vert-\vert f(x'')\vert\leqslant \vert f(x')-f(x'')\vert\leqslant \ov y_i-\ul y_i,$

откуда

$\displaystyle 0\leqslant \ov z_i-\ul z_i\leqslant \ov y_i-\ul y_i.$

Умножая на $ h_i$ и суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем:

$\displaystyle 0\leqslant \sum_{i=1}^n(\ov z_i-\ul z_i)h_i\leqslant
\sum_{i=1}^n(\ov y_i-\ul y_i)h_i.$

Поскольку функция $ f$ интегрируема, правая часть становится меньше любого $ {\varepsilon}>0$ , если разбиение имеет достаточно малый диаметр $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$ . Тогда для достаточно мелких разбиений и левые части становятся меньше $ {\varepsilon}$ , а значит, предел верхних интегральных сумм совпадает с пределом нижних интегральных сумм для функции $ g=\vert f\vert$ . Следовательно, функция $ g=\vert f\vert$ интегрируема, согласно теореме 3.1.

Неравенство (3.5) докажем так: запишем очевидные неравенства

 

$\displaystyle f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$    и     $\displaystyle -f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$

и к каждому из них применим теорему об интегрировании неравенства ( теорема 3.8). Получим, если воспользоваться свойством линейности, согласно которому множитель $ -1$ можно вынести за знак интеграла,

 

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx$    и     $\displaystyle -\int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx.$

Но эти два неравенства как раз и означают, что выполнено неравенство (3.5).     

        Замечание 3.3   Заметим, что из интегрируемости функции $ \vert f(x)\vert$ не следует интегрируемость функции $ f(x)$ . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию Дирихле:

 

$\displaystyle D(x)=\left\{\begin{array}{rl}
-1,&\text{ если }x\in\mathbb{Q};\\
1,&\text{ если }x\notin\mathbb{Q}.
\end{array}\right.$

(Напомним, что $ \mathbb{Q}$  -- это множество рациональных чисел.) Поскольку при любом разбиении $ [a;b]$ на любом отрезке $ [x_{i-1};x_i]$ найдётся как рациональное, так и иррациональное число, то все верхние суммы равны

$\displaystyle \ov S_D=\sum_{i=1}^n1\cdot h_i=b-a,$

а все нижние суммы равны

 

$\displaystyle \ul S_D=\sum_{i=1}^n(-1)\cdot h_i=-(b-a).$

Поэтому их пределы при измельчении разбиения не совпадают и, следовательно, функция $ D(x)$ не интегрируема.

С другой стороны, функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$ тождественно равна 1. Она интегрируема, как любая постоянная, и определённый интеграл от неё равен, как легко видно, $ b-a$ .     

ножая последнее равенство на $ b-a$ , получаем утверждение теоремы.