Электротехника
Физика
Математика
Графика
Курсовой
Черчение
Архитектура
Начерталка

Математика

Задачи
Информатика
Лабы

Свойства определённого интеграла

  Следствие 3.1   Пусть на отрезке $ [a;b]$ задана интегрируемая функция $ f(x)$ , причём для всех $ x\in[a;b]$ имеет место неравенство $ m\leqslant f(x)\leqslant M$ , где $ m$ и $ M$  -- некоторые постоянные. Тогда


        Доказательство.     Действительно, из предыдущей теоремы следует, что

$\displaystyle \int_a^bm\;dx\leqslant \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bM\;dx.$

Выше мы уже замечали, что для любой постоянной $ C$

$\displaystyle \int_a^bC\;dx=C(b-a),$

откуда $ \int_a^bm\;dx=m(b-a)$ и $ \int_a^bM\;dx=M(b-a),$ что и доказывает утверждение следствия.     

Из этого следствия выводится следующая теорема, которая носит название теоремы о среднем:

        Теорема 3.9   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ . Тогда существует такая точка $ x^*\in[a;b]$ , что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=f(x^*)(b-a).$

        Доказательство.     Заметим для начала, что по теореме 3.3 функция $ f(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ , так что интеграл в левой части доказываемого равенства существует. Поскольку функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём в некоторых точках $ x_1$ и $ x_2$ своё наименьшее и наибольшее значения $ m=f(x_1)$ и $ M=f(x_2)$ , то $ m=f(x_1)\leqslant f(x)\leqslant f(x_2)=M$ при всех $ x\in[a;b]$ . Согласно неравенству (3.4), величина $ \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}$ удовлетворяет неравенству

$\displaystyle m\leqslant \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}\leqslant M$

и, следовательно, является промежуточным значением между $ f(x_1)$ и $ f(x_2)$ . Но непрерывная функция принимает любое своё промежуточное значение в некоторой точке отрезка, значит, существует такая точка $ x^*\in[a;b]$ , что

$\displaystyle \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}=f(x^*).$

Умножая последнее равенство на $ b-a$ , получаем утверждение теоремы.