Электротехника
Физика
Математика
Графика
Курсовой
Черчение
Архитектура
Начерталка

Математика

Задачи
Информатика
Лабы

Свойства определённого интеграла

 

   Теорема 3.7   Рассмотрим функцию $ f(x)$ , заданную на отрезке $ [a;b]$ . Пусть отрезок $ [a;b]$ можно разбить на конечное число частей $ [a_j;b_j]$ , $ j=0,1,2,\dots,m$ , $ a_j=b_{j-1}$ при $ j=0,1,\dots,m-1$ , так что в пределах каждой из частей функция непрерывна либо монотонна на интервале $ (a_j;b_j)$ , а в точках $ a_j=b_{j-1}$ либо непрерывна, либо имеет разрывы первого рода. Тогда функция $ f(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ .

        Доказательство.     Согласно свойству аддитивности ( замечание 3.2), достаточно доказать, что функция $ f(x)$ интегрируема на каждом из замкнутых отрезков $ [a_j;b_j]$ . Фиксировав такой отрезок, переопределим, если нужно, функцию $ f(x)$ в двух точках $ a_j$ и $ b_j$ , положив её равной соответственно $ f(a_j)=\lim\limits_{x\to a_j+}f(x)$ и $ f(b_j)=\lim\limits_{x\to b_j-}f(x)$ ; по условию теоремы, оба этих предела существуют. Тогда "исправленная" функция либо непрерывна, либо монотонна на всём отрезке $ [a_j;b_j]$ и, следовательно, интегрируема на $ [a_j;b_j]$ , согласно теоремам 3.3 и 3.4. Но тогда исходная функция, отличающаяся от "исправленной" только лишь, возможно, в двух точках, тоже интегрируема на $ [a_j;b_j]$ , согласно замечанию 3.1. Этим завершается доказательство теоремы.     

Следующее свойство свидетельствует о том, что при интегрировании сохраняется знак неравенства.

        Теорема 3.8   Пусть интегрируемые на отрезке $ [a;b]$ функции $ f(x)$ и $ g(x)$ таковы, что $ f(x)\leqslant g(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ . Тогда

 

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bg(x)\;dx.$

        Доказательство.     Рассмотрим любое размеченное разбиение $ \Xi=(X,\ov X)$ . Для любой точки разметки $ \ov x_i$ , лежащей на отрезке разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ длины $ h_i$ , согласно предположению, выполнено неравенство $ f(\ov x_i)\leqslant g(\ov x_i)$ и, следовательно, неравенство $ f(\ov x_i)h_i\leqslant g(\ov x_i)h_i$ , поскольку $ h_i>0$ . Суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем

 

$\displaystyle \wt S_f=\sum\limits_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i\leqslant \sum\limits_{i=1}^ng(\ov x_i)h_i=
\wt S_g,$

то есть интегральные суммы $ \wt S_f$ и $ \wt S_g$ , построенные, соответственно, для функций $ f$ и $ g$ по любому размеченному разбиению $ \Xi$, связаны тем же знаком неравенства, что и данные функции. Поскольку переход к пределу по базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ сохранит знак неравенства, согласно одному из свойств пределов, то получаем, что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...qslant
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_g=
\int_a^bg(x)\;dx,$

что и требовалось доказать.