Электротехника
Физика
Математика
Графика
Курсовой
Черчение
Архитектура
Начерталка

Математика

Задачи
Информатика
Лабы

Свойства определённого интеграла

 

  Теорема 3.6   Из интегрируемости функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ следует, что она интегрируема и на любом отрезке $ [a';b']\sbs[a;b]$ .

        Доказательство.     Рассмотрим для любого разбиения $ X$ отрезка $ [a;b]$ то разбиение $ X'$ отрезка $ [a';b']$ , которое получается, если включить в $ X'$ те точки из $ X$ , которые попадают на отрезок $ [a';b']$ . Если $ \ul S(X')$ и $ \ov S(X')$  -- нижняя и верхняя интегральные суммы, соответствующие $ X'$ , то легко видеть, что

$\displaystyle 0\leqslant \ov S(X')-\ul S(X')\leqslant \ov S(X)-\ul S(X).$

Поэтому если функция интегрируема на $ [a;b]$ , то есть суммы $ \ov S(X)$ и $ \ul S(X)$ имеют общий предел при измельчении разбиения, то и суммы $ \ov S(X')$ и $ \ul S(X')$ будут иметь общий предел, так как их разность стремится к 0, причём $ \ov S(X')$ не увеличиваются, а $ \ul S(X')$ не уменьшаются при добавлении дополнительных точек для измельчения разбиения. Наличие общего предела у $ \ov S(X')$ и $ \ul S(X')$ означает интегрируемость $ f(x)$ на $ [a';b']$ .     

Вследствие доказанной теоремы мы можем теперь освободиться в теореме об аддитивности интеграла от требования, чтобы функция была интегрируема на каждом из двух отрезков $ [a;c]$ и $ [c;b]$ , на которые разбивается отрезок $ [a;b]$ : интегрируемость на этих двух отрезках автоматически следует из интегрируемости на $ [a;b]$ . Более того, справедливо следующее замечание.

        Замечание 3.2   Добавляя отрезки по одному, мы получаем такое утверждение: если отрезки $ [a_0;b_0],\ [a_1;b_1],\ \dots,\ [a_m;b_m]$ расположены на оси $ Ox$ один за другим, то есть $ b_0=a_1$ , ..., $ b_{m-1}=a_m$ , и функция $ f(x)$ интегрируема на объединении отрезков $ [a_j,b_j]$ , $ j=0,\dots,m$ , то есть на $ [a_0;b_m]$ , то она интегрируема на каждом из частичных отрезков $ [a_j;b_j]$ , причём

$\displaystyle \int_{a_0}^{b_m}f(x)\;dx=\sum_{j=0}^m\int_{a_j}^{b_m}f(x)\;dx.$

Это равенство также выражает свойство аддитивности определённого интеграла, применительно к разбиению отрезка на конечное число частей.     

Аддитивность в сочетании с утверждением теорем об интегрируемости монотонной и непрерывной функций даёт следующее предложение.