Электротехника
Физика
Математика
Графика
Курсовой
Черчение
Архитектура
Начерталка

Математика

Задачи
Информатика
Лабы

Свойства определённого интеграла

 

Докажем теперь, что если $ f(x)$ и $ g(x)$  -- интегрируемые на $ [a;b]$ функции, то функция $ f(x)+g(x)$ тоже интегрируема и имеет место формула

 

$\displaystyle \int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)\;dx+\int_a^bg(x)\;dx.$

Составим для данного размеченного разбиения $ \Xi$ интегральную сумму для функции $ f(x)+g(x)$ :

 

$\displaystyle \wt S_{f+g}(\Xi)=\sum_{i=1}^n(f(\ov x_i)+g(\ov x_i))h_i$

и очевидным образом преобразуем её, раскрыв скобки и переставив слагаемые:

 

$\displaystyle \wt S_{f+g}(\Xi)=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i+\sum_{i=1}^ng(\ov x_i))h_i=
\wt S_f(\Xi)+\wt S_g(\Xi),$

где $ \wt S_f$  -- интегральная сумма для функции $ f$ , а $ \wt S_g$  -- интегральная сумма для функции $ g$ , составленные по тому же размеченному разбиению $ \Xi$ . Теперь заметим, что равенство сохранится и после предельного перехода при базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , а также что предел суммы равен сумме пределов, если пределы слагаемых существуют:

 

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{f+g}(\Xi)=
\li...
...to0}
\wt S_f(\Xi)+
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}
\wt S_g(\Xi).$

По условию, пределы в правой части существуют:

 

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_f(\Xi)
=\int_a^...
...quad
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_g(\Xi)=\int_a^bf(x)\;dx.$

Поэтому существует и предел в левой части, причём он равен $ \int_a^bf(x)\;dx+\int_a^bf(x)\;dx.$ Осталось заметить, что, по определению, предел левой части даёт $ \int_a^b(f(x)+g(x))dx$ . Итак, получили, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой из этих функций.

Из доказанных свойств интеграла следует, что если $ C_1$ и $ C_2$  -- постоянные, то

 

$\displaystyle \int_a^b(C_1f(x)+C_2g(x))dx=C_1\int_a^bf(x)\;dx+C_2\int_a^bg(x)\;dx.$

Эта формула означает, что операция вычисления определённого интеграла обладает свойством линейности.

Можно также отметить, что тем самым мы доказали, что множество всех интегрируемых на фиксированном отрезке функций является некоторым линейным пространством $ S_{[a;b]}$ , то есть операции умножения на постоянный множитель и сложения не выводят результирующую функцию из данного множества, а операция $ I:S_{[a;b]}\to\mathbb{R}$ , действующая на элементы $ f\in S_{[a;b]}$ по формуле $ I(f)=\int_a^bf(x)\;dx$  -- это линейная операция:

 

$\displaystyle I(C_1f+C_2g)=C_1I(f)+C_2I(g),$

где $ f,g\in S_{[a;b]}$  -- произвольные функции, а $ C_1,C_2$  -- постоянные.

Докажем теперь свойство определённого интеграла, называемое его аддитивностью. А именно, предположим, что функция $ f(x)$ интегрируема на отрезках $ [a;c]$ и $ [c;b]$ , где $ a<c<b$ . Тогда $ f(x)$ интегрируема на отрезке $ [a;b]$ , причём

 

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\int_a^cf(x)\;dx+\int_c^bf(x)\;dx.$

Действительно, рассмотрим какое-либо размеченное разбиение отрезка $ [a;b]$ , содержащее в качестве одной из точек деления точку $ c=x_m$ . Тогда, очевидно, интегральная сумма $ \wt S$ для $ f$ по отрезку $ [a;b]$ представляется в виде

 

$\displaystyle \wt S=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i+\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$

причём первая сумма,

 

$\displaystyle \wt S_1=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i,$

является интегральной суммой для $ f$ по отрезку $ [a;c]$ , соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_1$ , заданному точками $ x_1,\dots,x_{m-1}$ и $ \ov x_1,\dots,\ov x_m$ , а вторая,
$\displaystyle \wt S_2=\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$ --

интегральной суммой по отрезку $ [c;b]$ , соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_2$ , заданному точками $ x_{m+1},\dots,x_{n-1}$ и $ \ov x_{m+1},\dots,\ov x_n$ . Заметим еще, что при $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)=\max\limits_{i=1,\dots,m}h_i\to0}$ и $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)=\max\limits_{i=m+1,\dots,n}h_i\to0}$ будет также $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\limits_{i=1,\dots,n}h_i\to0}$ , так как, очевидно, $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1);\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\}}$ . Так что при измельчении разбиений отрезков $ [a;c]$ и $ [c;b]$ разбиение отрезка $ [a;b]$ также будет измельчаться, и наоборот, из условия $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ следует, что $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)\to0$ и $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\to0$ . Поэтому

 

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...iam}\nolimits (\Xi_2)\to0}\wt S_2(\Xi_2)=
\int_a^cf(x)\;dx+
\int_c^bf(x)\;dx.$