Электротехника
Физика
Математика
Графика
Курсовой
Черчение
Архитектура
Начерталка

Математика

Задачи
Информатика
Лабы

Свойства определённого интеграла

 

        Теорема 3.5   Пусть функция $ f(x)$ не ограничена на отрезке $ [a;b]$ . Тогда эта функция $ f(x)$ не может быть интегрируемой на $ [a;b]$ , то есть не существует предела интегральных сумм для функции $ f(x)$ при условии $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ . Иными словами, если функция интегрируема, то она ограничена.

        Доказательство.     Фиксируем любое разбиение $ X$ с произвольным диаметром $ d=\mathop{\rm diam}\nolimits (X)$ . Поскольку функция $ f(x)$ не ограничена на отрезке $ [a;b]$ , то она не ограничена хотя бы на одном из отрезков разбиения $ [x_{i_0-1};x_{i_0}]$ . Предположим, что функция не ограничена на этом отрезке сверху (случай неограниченности снизу разбирается совершенно аналогично), и покажем, что тогда интегральную сумму, соответствующую этому разбиению, можно сделать как угодно большой лишь за счёт выбора точки разметки, лежащей на отрезке $ [x_{i_0-1};x_{i_0}]$ . Выберем точки разметки $ \ov x_i$ , лежащие на прочих отрезках разбиения, то есть при $ i\ne i_0$ , и зафиксируем. Тогда эти фиксированные отрезки и точки разметки дадут некоторый фиксированный вклад в интегральную сумму, равный $ s=\sum\limits_{i\ne i_0}f(\ov x_i)h_i.$ Поскольку на оставшемся отрезке деления с номером $ i_0$ и фиксированной длиной $ h_{i_0}$ функция $ f$ неограничена сверху, то для любого, как угодно большого числа $ M$ можно найти такую точку $ \ov x_{i_0}\in[x_{i_0-1};x_{i_0}]$ , что

 

$\displaystyle s+f(\ov x_{i_0})h_{i_0}>M,$

достаточно взять такую точку $ \ov x_{i_0}$ , что значение функции в ней превышает $ \frac{M-s}{h_{i_0}}$ . Следовательно, при любом, как угодно малом, значении диаметра размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ , мы можем найти такое размеченное разбиение $ \Xi$ , что интегральная сумма $ \wt S(\Xi)$ , ему соответствующая, будет как угодно велика. Значит, величина $ \wt S(\Xi)$ не ограничена ни на каком окончании $ E_{{\delta}}$ базы $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ и поэтому не может иметь никакого предела при этой базе (как мы знаем, все величины, имеющие предел, локально ограничены при данной базе). Поскольку предела интегральных сумм нет, функция $ f(x)$ не интегрируема на отрезке $ [a;b]$ , что и требовалось доказать.     

        Замечание 3.1   Заметим теперь, что если переопределить значение интегрируемой функции в одной или нескольких точках (в конечном числе точек), то она останется интегрируемой и значение определённого интеграла от неё не изменится.

Действительно, изменение значения в одной точке $ x_0$ либо вовсе не меняет интегральную сумму, либо изменяет одно её слагаемое, если $ x_0$ совпадает с одной из точек разметки $ \ov x_i$ . Но при измельчении разбиения, то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , вклад слагаемого $ f(\ov x_i)h_i$ , соответствующего отрезку, на котором лежит $ x_0$ , стремится к 0, так как $ h_i\to0$ . Значит, предел $ I=\lim\limits_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S(\Xi)$ не меняется. Если точек $ x_0$ , в которых изменяется значение функции, несколько, то их можно добавлять по одной, что и завершает доказательство утверждения.     

Выясним теперь некоторые общие свойства определённого интеграла $ \int_a^bf(x)\;dx$ . При этом будем предполагать, что функции, стоящие под знаком определённого интеграла, -- интегрируемые.