Электротехника
Физика
Математика
Графика
Курсовой
Черчение
Архитектура
Начерталка

Математика

Задачи
Информатика
Лабы

Свойства определённого интеграла

 

Из предыдущего может сложиться неверное впечатление, будто для интегрируемости функции на отрезке необходима её непрерывность. Это не так, и интегрируемыми могут быть и разрывные функции (но, конечно, не все). Достаточно широкий класс интегрируемых функций даёт следующая теорема.

        Теорема 3.4   Пусть функция $ f(x)$ монотонна на отрезке $ [a;b]$ , то есть либо не убывает, либо не возрастает на нём. Тогда $ f(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ .

        Доказательство.     Разберём случай, когда $ f(x)$ не убывает на отрезке, то есть когда из неравенства $ x_1<x_2$ ( $ x_1,x_2\in[a;b]$ ) следует, что $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$ . Если функция постоянна на отрезке $ [a;b]$ , то она непрерывна на нём и, следовательно, интегрируема9. Если же функция не постоянна, то $ f(b)>f(a)$ . Рассмотрим тогда произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и возьмём $ {\delta}=\frac{{\varepsilon}}{f(b)-f(a)}$ . Выберем любое разбиение $ X=(x_1;\dots;x_{n-1})$ с диаметром $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\leqslant {\delta}$ . Тогда нижняя интегральная сумма $ \ul S$ получится, если взять точки разметки $ \ov x_i=x_{i-1}$ , поскольку ввиду неубывания функции она принимает наименьшее значение в левом конце каждого из отрезков разбиения; аналогично, верхняя интегральная сумма $ \ov S$ получится при выборе $ \ov x_i=x_i$ (наибольшее значения принимается в правом конце отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ ). Получаем, что

$\displaystyle \ul S\leqslant \wt S(\Xi)\leqslant \ov S,$

где $ \Xi$  -- размеченное разбиение, полученное из $ X$ любым выбором точек разметки $ \ov x_i$ . Интегрируемость функции $ f$ будет доказана, если мы покажем, что $ \ul S$ и $ \ov S$ имеют один и тот же предел $ I$ при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$ . Заметим, что при любом разбиении $ X$ величины $ \ul S$ ограничены сверху числом $ f(b)(b-a)$ , а величины $ \ov S$ ограничены снизу числом $ {f(a)(b-a)}$ , причём эти границы не зависят от выбора разбиения. Значит, существует точная верхняя грань $ \ul I=\sup\ul S$ и точная нижняя грань $ \ov I=\inf\ov S$ , причём из неравенства $ \ul S\leqslant \ov S$ следует, что $ \ul I\leqslant \ov I$ и

$\displaystyle \ov S-\ul S\geqslant \ov I-\ul I.$

Покажем, что разность $ \ov S-\ul S\leqslant {\varepsilon}$ , если $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$ . Действительно, поскольку длины отрезков разбиения $ h_i$ меньше $ {\delta}$ ,

$\displaystyle \ov S-\ul S=\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))h_i\leqslant 
 \sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1})){\delta}=
 {\delta}\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))=$   
$\displaystyle ={\delta}(f(b)-f(a))=\frac{{\varepsilon}}{f(b)-f(a)}(f(b)-f(a))={\varepsilon}.$   

Получили, тем самым, что $ \ov I-\ul I\leqslant {\varepsilon}$ . Так как в качестве $ {\varepsilon}$ мы можем выбрать как угодно малое число, а разность $ \ov I-\ul I$ от разбиения (и, следовательно, от выбора $ {\varepsilon}$ ) не зависит, то $ \ov I-\ul I=0$ , то есть $ \ov I=\ul I=I$ . Так как $ 0\leqslant \ov S-I\leqslant {\varepsilon}$ и $ 0\leqslant I-\ul S\leqslant {\varepsilon}$ , то при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$ будет $ \ov S\to I$ и $ \ul S\to I$ . По теореме "о двух милиционерах" тогда и $ \lim\limits_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\wt S(\Xi)=I$ , что означает интегрируемость функции $ f$ .     

Можно указать также класс функций, ни одна из которых не может быть интегрируемой на отрезке $ [a;b]$ . А именно, имеет место следующее утверждение: