Электротехника
Физика
Математика
Графика
Курсовой
Черчение
Архитектура
Начерталка

Математика

Задачи
Информатика
Лабы

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

        Теорема 3.1   Пусть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$ существуют и равны друг другу пределы верхней и нижней интегральных сумм для функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ :

 

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ul S(X)=I;\quad
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ov S(X)=I.$

Тогда функция $ f(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ , причём

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=I.$

    

Верно и обратное утверждение:

        Теорема 3.2   Пусть функция $ f(x)$ интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда пределы верхней и нижней интегральных сумм, составленных для этой функции на отрезке $ [a;b]$ , существуют и равны определённому интегралу:

 

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ul S(X)=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ov S(X)=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Доказательство этого утверждения несколько более сложно, чем предыдущей теоремы; дадим его набросок.

Как для верхней, так и для нижней интегральной суммы, соответствующей разбиению $ X$ , можно указать такие точки разметки $ \ov x_i$ (при том же самом разбиении $ X$ ), что получающаяся интегральная сумма со значениями функции в этих точках $ \ov x_i$ будет произвольно мало (скажем, меньше, чем на $ \frac{{\varepsilon}}{2}$ ) отличаться от верхней (или нижней) интегральной суммы, а при достаточно мелком разбиении она мало отличается и от значения интеграла $ I$ (тоже, скажем, меньше, чем на $ \frac{{\varepsilon}}{2}$ . Следовательно, как угодно мало (меньше, чем на $ {\varepsilon}$ ) отличается от значения интеграла и верхняя (или нижняя) интегральная сумма; это говорит о том, что верхняя (нижняя) интегральная сумма стремится к $ I$ при неограниченном измельчении разбиения.     

Кроме того, мы можем теперь сформулировать такую теорему:

        Теорема 3.3   Если функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ , то она интегрируема на этом отрезке, то есть существует число
$\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Доказательство, по сути дела, было приведено выше, при построении интегральных сумм, соответствующих значениям $ f(\ov x_i)=\ul y_i$ и $ f(\ov{\ov x}_i)=\ov y_i$ . Для строгости доказательства нужно лишь заметить, что при переходе ко всё более мелким разбиениям путём добавления новых точек деления $ x_i$ нижние интегральные суммы $ \ul S(\Xi)=\sum\limits_{i=1}^n\ul y_ih_i$ не убывают и ограничены сверху значением любой из верхних интегральных сумм $ \ov S(\Xi)=\sum\limits_{i=1}^n\ov y_ih_i$ ; аналогично, верхние интегральные суммы $ \ov S(\Xi)$ не возрастают при измельчении разбиения и ограничены снизу значением любой нижней интегральной суммы $ \ul S(\Xi)$ . Поэтому для доказательства существования предела достаточно теперь сослаться на теорему о существовании предела монотонной ограниченной функции, которая была изучена в первом семестре.     

Проверим, что данное нами определение площади криволинейной трапеции не противоречит формуле, задающей площадь обычной трапеции. Обычная трапеция получается, если функция $ f(x)$  -- линейна: $ f(x)=kx+c$ . Это непрерывная на любом отрезке $ [a;b]$ функция, так что интеграл, задающий площадь $ S$ под графиком, существует:

 

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1}).$

Возьмём следующее размеченное разбиение с произвольно малым диаметром. Разобьём отрезок $ [a;b]$ на $ n$ равных частей, длина каждой из которых будет $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\frac{b-a}{n}$ , а в качестве точек разметки возьмём середину соответствующего отрезка, то есть положим $ \ov x_i=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i)$ . тогда величина $ \wt S_i$ будет в точности равна площади $ S_i$ (см. рис.):

Рис.3.3.



Значит, соответствующая этому размеченному разбиению интегральная сумма будет в точности равна площади трапеции $ S$ . Поскольку мы можем взять диаметр такого разбиения произвольно малым (увеличивая $ n$ ), то предел для произвольных разбиений не может давать иного, кроме $ S$ , значения. Тем самым мы доказали корректность определения площади криволинейной трапеции