Электротехника
Физика
Математика
Графика
Курсовой
Черчение
Архитектура
Начерталка

Математика

Задачи
Информатика
Лабы

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

        Определение 3.1   Для заданной функции $ f$ на отрезке $ [a;b]$ назовём определённым интегралом от $ f$ по $ [a;b]$ число, равное пределу интегральной суммы, рассматриваемой как функция размеченного разбиения $ \Xi$ , по базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ . Определённый интеграл обозначается $ \int_a^bf(x)\;dx$ или $ \int_{[a;b]}f(x)\;dx$ . Итак,

 

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1}).$

Если функция $ f$ такова, что определённый интеграл от неё по отрезку $ [a;b]$ существует (то есть если интегральная сумма имеет предел при базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ ), то функция $ f$ называется интегрируемой на отрезке $ [a;b]$ .

По отношению к интегралу $ \int_a^bf(x)\;dx$ число $ a$ называется нижним пределом, число $ b$  -- верхним пределом, а функция $ f(x)$  -- подынтегральной функцией.     

Если вспомнить общее определение предела и записать его применительно к нашему случаю, то получим, что число $ I$ равно определённому интегралу от $ f$ по отрезку $ [a;b]$ , если для любого, сколь угодно малого числа $ {\varepsilon}>0$ мы можем выбрать такое число $ {\delta}>0$ , задающее мелкость разбиения, что для любого размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ с диаметром, меньшим $ {\delta}$ , значение интегральной суммы будет отличаться от числа $ I$ не больше чем на $ {\varepsilon}$ :

 

$\displaystyle \Bigl\vert\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1})-I\Bigr\vert\leqslant {\varepsilon},$    если $\displaystyle \max_i(x_i-x_{i-1})<{\delta}.$

Заодно, кроме общего определения определённого интеграла, мы получили определение площади $ S$ криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции $ y=f(x)$ , как такого же предела интегральных сумм:

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx,$

если функция $ f$ непрерывна на $ [a;b]$ и $ f(x)>0$ при всех $ x\in[a;b]$ .

Сделаем ещё такое важное замечание: в обозначении $ I=\int_a^bf(x)\;dx$ совершенно неважно, какой именно буквой обозначена переменная интегрирования (в данном случае $ x$ ): если фиксированы подынтегральная функция $ f$ и пределы интегрирования $ a$ и $ b$ , то интегралы $ \int_a^bf(t)\;dt$ , $ \int_a^bf(z)\;dz$ , $ \int_a^bf({\alpha})\;d{\alpha}$ и т. п. означают одно и то же число $ I$ , к которому стремятся интегральные суммы, построенные для функции $ f$ на отрезке $ [a;b]$ при измельчении размеченного разбиения. (Точно так же сумма $ S=\sum\limits_{i=1}^na_i$ величин $ a_1,a_2,\dots,a_n$ не зависит от того, какой буквой обозначать индекс суммирования: то же значение $ S$ будут иметь суммы, обозначенные как $ \sum\limits_{j=1}^na_j$ , $ \sum\limits_{t=1}^na_t$ , $ \sum\limits_{{\alpha}=1}^na_{{\alpha}}$ и т. п.)

Рассматривая на каждом из отрезков разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ значения $ \ul y_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ и $ \ov y_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ (в случае непрерывной функции $ f(x)$ они совпадают с $ \ul y_i=\min\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ и $ \ov y_i=\max\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ , которые мы рассматривали выше), мы можем дать для разбиения $ X$ определение нижней интегральной суммы:

 

$\displaystyle \ul S(X)=\sum_{i=1}^n\ul y_ih_i$

и верхней интегральной суммы:

 

$\displaystyle \ov S(X)=\sum_{i=1}^n\ov y_ih_i.$

При измельчении разбиения $ X$ , то есть при добавлении к множеству точек деления $ \{x_1;x_2;\dots;x_{n-1}\}$ дополнительных точек отрезка $ [a;b]$ , не совпадающих с уже имеющимися и рассмотрении новых, более мелких, отрезков деления, верхние интегральные суммы, очевидно, могут лишь уменьшиться, а нижние интегральные суммы -- лишь увеличиться: если $ X'$  -- разбиение с добавленными точками деления, то

 

$\displaystyle \ul S(X)\leqslant \ul S(X')\leqslant \ov S(X')\leqslant \ov S(X).$

Очевидно также, что для любого размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ имеет место неравенство
$\displaystyle \ul S(X)\leqslant \wt S(\Xi)\leqslant \ov S(X).$

Отсюда сразу следует такая теорема: