Электротехника
Физика
Математика
Графика
Курсовой
Черчение
Архитектура
Начерталка

Математика

Задачи
Информатика
Лабы

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

 

Легко видеть также, что при любом выборе точек $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ мы получаем

$\displaystyle \ul S_i\leqslant \wt S_i\leqslant \ov S_i.$(3.1)

Тогда искомая площадь $ S=\sum\limits_{i=1}^nS_i$ приблизительно равна сумме величин $ \wt S_i$ :

$\displaystyle S\approx\sum_{i=1}^n\wt S_i=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i,$

и лежит между суммой площадей $ \ul S_i$ и $ \ov S_i$ :

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\ul y_ih_i\leqslant S\leqslant \sum_{i=1}^n\ov y_ih_i.$(3.2)

Из неравенства (3.1) следует также, что при любом выборе точек $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ получаем

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\ul y_ih_i\leqslant 
 \sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i
 \leqslant \sum_{i=1}^n\ov y_ih_i.$(3.3)

Если все отрезки деления имеют малые длины $ h_i<{\delta}$ , то в силу непрерывности функции $ f(x)$ все разности между $ \ov y_i$ и $ \ul y_i$ будут также малы. Точнее говоря, для любого, как угодно малого $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое $ {\delta}>0$ , что при $ h_i<{\delta}$ будет $ \ov y_i-\ul y_i<{\varepsilon}$ при всех $ i=1,\dots,n$ . Значит, разница между правой и левой частями в (3.2) и (3.3) будет меньше, чем $ {\varepsilon}(h_1+h_2+\ldots+h_n)={\varepsilon}(b-a).$ Поскольку при $ {\varepsilon}\to0+$ эта величина, очевидно, стремится к 0, то левые и правые части неравенств (3.2) и (3.3) имеют общий предел, который в силу (3.2) равен $ S$ . По теореме "о двух милиционерах" величина $ \wt S=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i$ также имеет пределом число $ S$  -- искомую площадь области $ \mathcal{D}$ .

Теперь заметим, что составить сумму $ \wt S=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i$ мы можем не только для положительной непрерывной функции, но для произвольной функции $ f(x)$ , заданной на $ [a;b]$ .