Неопределённый интеграл Приближённое нахождение первообразных

Интегрирование функции Примеры решений

1. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен. Рассмотрим интегралы, подынтегральная функция в которых содержит квадратный трёхчлен $ ax^2+bx+c$ , где $ a\ne0,\ b,\ c$  -- некоторые постоянные, вида

 

$\displaystyle \int\frac{Mx+N}{ax^2+bx+c}dx$ и $\displaystyle \int\frac{Mx+N}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx.$

(Заметим, что в числителе дроби должно стоять линейное выражение $ Mx+N$ , где $ M$ и $ N$  -- постоянные; при этом какой-либо из постоянных не запрещается быть равной 0.) Уравнения Колмогорова

Такие интегралы приводятся к табличным следующим способом. Нужно выделить из квадратного трёхчлена выражение, равное полному квадрату, сделав такое преобразование:

 

$\displaystyle ax^2+bx+c=a\bigl(x^2+2x\cdot\frac{b}{2a}+\bigl(\frac{b}{2a}\bigl)...
...2a}\bigl)^2\bigl)=
a\bigl(x+\frac{b}{2a}\bigl)^2+\bigl(c-\frac{b^2}{4a}\bigl).$

После этого сделаем линейную замену $ z=x+\frac{b}{2a}$ и получим интеграл одного из видов:

 

$\displaystyle \int\frac{mz+n}{z^2+d^2}\,dz;\ %
\int\frac{mz+n}{z^2-d^2}\,dz;\ %
\int\frac{mz+n}{\sqrt{z^2\pm d^2}}\,dz;\ %
\int\frac{mz+n}{\sqrt{d^2-z^2}}\,dz$

при некоторых постоянных $ m,n$ и $ d$ . Далее разбиваем интеграл на два слагаемых и в первом, в числителе подынтегральной функции содержащем $ mz$ , делаем замену $ {u=z^2+d^2}$ , $ {u=z^2-d^2}$ или $ {u=d^2-z^2}$ , согласно тому, что стоит в знаменателе. После этого первое слагаемое приводится к табличному интегралу. Второе слагаемое, с $ n$ в числителе подынтегральной функции, тоже даёт табличный интеграл.

Системы координат.

 Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.

Полярная система координат.

 Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

 Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

 


 

  Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

 Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

 

x = rcosj; y = rsinj;  x2 + y2 = r2

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Вычислим интеграл

Интегралы от произведений синусов и косинусов

Расмотрим интеграл вида

Найдём интеграл

Вычислим интеграл

Рассмотрим случай вычисления интеграла

Пример Найдём интеграл $\dis

Пример Вычислим интеграл