Высшая математика теория и решение задач Интегралы

 

Формула Остроградского – Грина.

(Остроградский Михаил Васильевич (1861-1862) – русский математик, академик Петерб. А.Н.)

(Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик)

  Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж. Грин предложил в 1828 году только частный случай формулы.

  Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

  Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков.

 y

 y = y2(x) 

 D

 A

 

  Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову Векторный анализ Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

  Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

 Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:

 

 Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.

 

  Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров интегрируется в таком направлении, чтобы область D все время оставалась по левую сторону линии обхода.