Графика
Начерталка

Математика

Лабы

Высшая математика теория и решение задач Интегралы

 

Ряды Тейлора и Лорана.

2) Функция f(x) имеет вид: .

В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z0 называют еще простым полюсом.

Порядок полюса может быть определен по формуле:

 z0 – полюс порядка т.

  3) Функция f(z) имеет вид , где в ряду  не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с-k.

В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z0 существенно особую точку. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

 

 

  Определение. Пусть z0 – изолированная особая точка функция f(z), т.е. пусть функция f(z) – аналитическая в некотором круге  из которого исключена точка z0. Тогда интеграл

называется вычетом функции f(z) в точке z0, где L – контур в круге , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z0.

 

  Вычет также обозначают иногда .

 

  Если  есть ряд Лорана функции f в точке z0, то .

  Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки.

 

  В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.

 

  Например, если функция , а  имеет простой нуль при z = z0 , то z = z0 является простым полюсом функции f(z).

 

  Тогда можно показать, что вычет находится по формуле

 Если z = z0 – полюс порядка m ³ 1, то вычет может быть найден по формуле:

 

 

 

 

 Пример. Найти вычет функции  относительно точки z = 2.

 

Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем: