Графика
Начерталка

Математика

Лабы

Высшая математика теория и решение задач Интегралы

 

Основные трансцендентные функции.

  Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.

 

  Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.

 Основные методы интегрирования Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

  Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:

 

 

  Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.

Также справедливы равенства:

 

 

 

 Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.

 

  Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:

 

 

 Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

 

 

 Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2pi, а функции th z и cth z – период pi.

 

  Пример. Найти sin(1+2i).

 

 

 

 

 Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.

 Если w = u + iv, то  и Arg ew = = v.

Тогда eu = .

 

Итого:

 

Для комплексного числа z = a + ib  

 

 Определение. Выражение  называется главным значением логарифма.

 

  Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:

  1)

  2)

  3)

  4)

 

  Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид: