Графика
Начерталка

Математика

Лабы

Высшая математика теория и решение задач Интегралы

 

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

  Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде

 

  Подставляем полученные выражения в исходное уравнение: Показательные и логарифмические уравнения

Отсюда получаем:

 

 ………………

Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:

Окончательно получим:  

 

Итого:

 

 

  Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования. 

 

  Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.

 

 Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0  подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что

  Далее запишем дифференциальное уравнение в виде  и будем последовательно дифференцировать его по х.

 

 После подстановки полученных значений получаем: