Графика
Начерталка

Математика

Лабы

Высшая математика теория и решение задач Интегралы

 

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

  С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

  Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:

 Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

  Это решение можно представить степенным рядом:

 Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci. Математическое ожидание и дисперсия

Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

  Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты ci.

  Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.