Графика
Начерталка

Математика

Лабы

Высшая математика теория и решение задач математический анализ

 

Ряды с неотрицательными членами.

  При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

 

  Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

 

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами. 

Пусть даны два ряда  и  при un, vn ³ 0. Использование интегралов в экономических расчетах

 

  Теорема. Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда  

  Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов   и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

  Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а гармонический ряд  расходится, то расходится и ряд .

  Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а ряд   сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд  тоже сходится.

 

  Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если  и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды  и ведут одинаково в смысле сходимости.