Высшая математика теория и решение задач математический анализ

 

Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

  Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

.

  Доказательство. (необходимость)

Пусть , тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство

 выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство . Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

  Сформулируем критерий Коши для ряда.

 Дифференциальные уравнения Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения.

  Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство

.

 

  Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

 

  1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд  является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

 

  Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем  - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

 

  2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.

Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

  Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к.  при любом n.