Высшая математика теория и решение задач математический анализ

Решение задачи Дирихле для круга.

  Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(j), где j - полярный угол.

  Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению Лапласа

и при

 Дифференциальные уравнения Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения.

  Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:

Полагаем  Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:

Таким образом, имеем два уравнения:

Общее решение первого уравнения имеет вид:

Решение второго уравнения ищем в виде: . При подстановке получим:

Общее решение второго уравнения имеет вид: .

  Подставляя полученные решения в уравнение , получим:

Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ¹ 0.

  Если k = 0, то  следовательно .

Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2p. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В₀ = 0.

  Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D₀ = 0.

Окончательно получаем:

При этом:

Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона. (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)