Решение задачи Дирихле для круга.
Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(j), где j - полярный угол.
Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению Лапласа
и
при
Дифференциальные уравнения Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения.
Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:
Полагаем
Подставляя
это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:
Таким образом, имеем два уравнения:
Общее
решение первого уравнения имеет вид:
Решение
второго уравнения ищем в виде: . При подстановке получим:
Общее
решение второго уравнения имеет вид: .
Подставляя полученные решения в уравнение , получим:
Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ¹ 0.
Если k = 0, то следовательно
.
Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2p. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.
Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.
Окончательно
получаем:
При
этом:
Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона. (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)
|