Высшая математика теория и решение задач математический анализ

 

Решение задачи Коши методом Даламбера.

( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик)

  В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому, рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение

решается только при начальных условиях:

Для нахождения решения введем новые переменные: Геометрические приложения двойного интеграла

Тогда исходное уравнение принимает вид:

Решением этого уравнения будет функция , где j и y - некоторые функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми.

  Получаем:

Если продифференцировать полученный ответ, получим:

Т.е. .

  Далее с использованием начальных условий находим функции j и y.

Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем:

Тогда:

Решение задачи Коши получаем в виде:

 

Эта формула называется формулой Даламбера.